[论文解读] Mean-Square Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 6 from the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich Expansions Using Legendre Polynomials

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|Dec 31, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 26

一句话总结

本论文提出了一种基于广义多重傅里叶-勒让德级数的均方逼近方法，用于计算多重性为1至6的重复伊藤和斯特拉托诺维奇随机积分。通过将这些积分的核函数展开为勒让德多项式，作者推导出显式逼近公式，并证明了任意多重性下几乎必然收敛性，从而为随机微分方程构建了高阶强数值格式。

ABSTRACT

The article is devoted to the practical material on expansions and mean-square approximations of specific iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 6 with respect to components of the multidimensional Wiener process on the base of the method of generalized multiple Fourier series. More precisely, we used the multiple Fourier--Legendre series converging in the sense of norm in the space $L_2([t, T]^k)$ $(k=1,\ldots,6)$ for approximation of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals. The considered iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals are part of the stochastic Taylor expansions (Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions). Therefore, the results of the article can be useful for construction of the high-order strong numerical methods for Ito stochastic differential equations. Expansions of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 6 using Legendre polynomials are derived. The convergence with probability 1 of the mentioned method of generalized multiple Fourier series is proved for iterated Ito stochastic integrals of multiplicities $k$ $(k\in\mathbb{N})$ for the cases of multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series.

研究动机与目标

• 为多重性1至6的重复伊藤和斯特拉托诺维奇随机积分开发实用的均方逼近公式。
• 将广义多重傅里叶-勒让德级数展开应用于在 $L_2([t,T]^k)$ 范数下逼近这些积分。
• 为任意多重性 $k \in \mathbb{N}$ 的重复伊藤积分建立逼近方法的几乎必然收敛性。
• 为多重性1至4的特定斯特拉托诺维奇积分提供均方逼近误差的精确表达式。
• 通过泰勒-伊藤和泰勒-斯特拉托诺维奇展开，支持构建伊藤随机微分方程的高阶强数值方法。

提出的方法

• 在空间 $L_2([t,T]^k)$ 中将重复伊藤和斯特拉托诺维奇随机积分的核函数展开为多重傅里叶-勒让德级数。
• 通过将核函数正交投影到勒让德多项式基上，推导出多重性1至6的积分逼近公式。
• 应用非平凡变换以处理多重随机积分表示中被积函数的不连续性和非预测性。
• 通过将精确积分与截断的勒让德级数展开进行比较，推导出均方逼近误差的显式表达式。
• 证明了任意多重性 $k$ 的重复伊藤积分的勒让德级数逼近的几乎必然收敛性。
• 利用维纳过程增量的性质和伊藤等距性，计算并界定了逼近中的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用正交展开高效逼近多重性1至6的重复伊藤和斯特拉托诺维奇随机积分？
• RQ2 多重性1至4的特定斯特拉托诺维奇积分的均方逼近误差具有何种结构？
• RQ3 广义多重傅里叶-勒让德级数展开是否对任意多重性 $k$ 的重复伊藤积分几乎必然收敛？
• RQ4 勒让德级数的系数如何与随机积分核及其对称性相关联？
• RQ5 该方法能否扩展以通过泰勒-伊藤和泰勒-斯特拉托诺维奇展开，为伊藤SDE提供高阶强数值格式？

主要发现

• 通过勒让德多项式展开，为多重性1至6的重复伊藤和斯特拉托诺维奇随机积分推导出显式逼近公式。
• 对于 $I_{(0000)T,t}^{*(i_1i_2i_3i_4)}$，其均方逼近误差由包含平方系数和交叉项的复杂表达式给出，主导项为 $\frac{(T-t)^4}{16}$。
• 当 $i_1 = i_4 \neq i_2 = i_3$ 时，误差表达式包含形如 $\sum_{j_4=0}^q \sum_{j_1=0}^{j_4-1} \left( \sum_{j_2=0}^q C_{j_1j_2j_2j_4} + \sum_{j_2=0}^q C_{j_4j_2j_2j_1} \right)^2$ 的项。
• 该方法确保了任意多重性 $k \in \mathbb{N}$ 的重复伊藤积分的勒让德级数逼近的几乎必然收敛性。
• $I_{(0000)T,t}^{*(i_1i_2i_2i_1)}$ 的误差包含一个校正项 $\frac{(T-t)^4}{48}$，反映了伊藤与斯特拉托诺维奇解释之间的差异。
• 收敛性分析表明，随着展开阶数 $q$ 增大，逼近误差趋于零，并为特定情况导出了显式误差界。