[论文解读] From quadratic Hamiltonians of polymomenta to abstract geometrical Maxwell-like and Einstein-like equations

Alexandru Oană, Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文利用对偶1-喷射空间，为多时间哈密顿场论构建了一个几何框架，从多动量的二次哈密顿量推导出抽象的麦克斯韦型与爱因斯坦型方程。它建立了规范的非线性与卡坦N-线性联络，由此导出基于曲率的场方程，并在多时间形式下提出引力场与电磁场的广义守恒律。

ABSTRACT

The aim of this paper is to create a large geometrical background on the dual 1-jet space J^{1*}(T,M) for a multi-time Hamiltonian approach of the electromagnetic and gravitational physical fields. Our geometric-physical construction is achieved starting only from a given quadratic Hamiltonian function of polymomenta H, which naturally produces a canonical nonlinear connection N, a canonical Cartan N-linear connection CΓ(N) and their corresponding local distinguished (d-) torsions and curvatures. In such a context, we construct some geometrical electromagnetic-like and gravitational-like field theories which are characterized by some natural geometrical Maxwell-like and Einstein-like equations. Some abstract and geometrical conservation laws for the multi-time Hamiltonian gravitational physical field are also given.

研究动机与目标

• 使用对偶1-喷射空间 $J^{1*}( au, M)$ 构建多时间哈密顿场论的几何基础。
• 从多动量的二次哈密顿函数推导规范的非线性与卡坦 $N$-线性联络。
• 在多时间设定下，提出类似于麦克斯韦方程与爱因斯坦方程的抽象几何场方程。
• 在多时间引力场背景下，建立应力-能量d-张量的广义守恒律。
• 探讨所提出的几何场理论的物理意义，特别是对引力与电磁学的解释。

提出的方法

• 在对偶1-喷射空间 $E^* = J^{1*}( au, M)$ 上定义一个克罗内克 $h$-正则的多时间哈密顿函数 $H = h_{ab}(t)g^{ij}(t,x)p_i^a p_j^b + U_{(a)}^{(i)}(t,x)p_i^a + ilde{F}(t,x)$。
• 通过哈密顿函数的二阶偏导数构造规范的非线性联络 $N$ 与规范的卡坦 $N$-线性联络 $C ilde{ abla}(N)$。
• 计算卡坦联络的局部自然（d-）挠率与d-曲率，以表征几何场强。
• 计算标量曲率 $ \text{Sc}(C ilde{ abla}) $，当 $ m = 1 $ 时为 $ R - S $，当 $ m \neq 1 $ 时为 $ \tilde{\nabla} + R $，其中 $ R $ 为黎曼曲率，$ S $ 为挠率标量。
• 通过将曲率不变量与应力-能量d-张量 $ \tilde{\tau}_{AB} $ 等同，构建几何爱因斯坦型方程，分别给出 $ m = 1 $ 与 $ m \neq 1 $ 的形式。
• 假设广义守恒律 $ \tilde{\tau}_A^{B|B} = 0 $，并推导其关于曲率与挠率分量的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从对偶1-喷射空间上多动量的二次哈密顿量生成规范的非线性与卡坦 $N$-线性联络？
• RQ2 在多时间哈密顿框架下，由此产生的几何场方程如何类似于麦克斯韦方程与爱因斯坦方程？
• RQ3 卡坦联络的曲率与挠率分量如何编码类电磁与类引力的场动力学？
• RQ4 在此多时间几何设定下，应力-能量d-张量的广义守恒律是什么？
• RQ5 所推导的几何场方程的物理意义是什么，特别是对引力与电磁学而言？

主要发现

• 规范的非线性联络 $ N $ 与卡坦 $ N $-线性联络 $ C\tilde{\nabla}(N) $ 完全由哈密顿函数 $ H $ 的二阶导数决定，特别是 $ \frac{1}{2} \frac{\nabla^2 H}{\nabla p_i^a \nabla p_j^b} = h_{ab}(t)g^{ij}(t,x) $。
• 当 $ m = \text{dim}(\tau) = 1 $ 时，卡坦联络的标量曲率为 $ \text{Sc}(C\tilde{\nabla}) = R - S $；当 $ m \neq 1 $ 时，其为 $ \text{Sc}(C\tilde{\nabla}) = \tilde{\nabla} + R $。
• 对于 $ m = 1 $，几何爱因斯坦型方程由涉及 $ R - S $、$ R_{ij} $ 与 $ S_{(i)(j)}^{(a)(b)} $ 的方程组给出，其中 $ \frac{R - S}{2} $ 充当与应力-能量d-张量 $ \tilde{\tau}_{AB} $ 的曲率耦合项。
• 当 $ m \neq 1 $ 时，爱因斯坦型方程的形式为 $ \tilde{\nabla}_{ab} - \frac{\tilde{\nabla} + R}{2} h_{ab} = \tilde{\tau}_{ab} $，空间分量与混合分量具有类似形式。
• 广义守恒律表示为 $ \tilde{\tau}_A^{B|B} = 0 $，其显式形式涉及曲率与挠率分量的协变导数，例如当 $ m = 1 $ 时，有 $ \big[ \frac{R - S}{2} \big]_{/1} = R_{1|r}^r - P_{(r)1}^{(1)}|_{(1)}^{(r)} $。
• 为确保一致性，该系统要求应力-能量d-张量 $ \tilde{\tau} $ 的某些分量在先验上为零，这反映了几何模型中的物理约束。