[论文解读] (G, \mu)-displays and Rapoport-Zink spaces

Oliver Bueltel, G. Pappas|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文引入了$(G,\mu)$-显示，作为Zink的Witt向量显示的群论推广，以纯粹地从半单群和共轭型出发构造拉波普特-津形式概形，无需依赖$p$-可除群。主要贡献在于，这些形式概形作为$p$-adic局部希米勒瓦族的积分模型的表示性（在部分情况下已证明），尤其在霍奇型情形下。

ABSTRACT

Let (G, \\mu) be a pair of a reductive group G over the p-adic integers and a minuscule cocharacter {\\mu} of G defined over an unramified extension. We introduce and study "(G, \\mu)-displays" which generalize Zink's Witt vector displays. We use these to define certain Rapoport-Zink formal schemes purely group theoretically, i.e. without p-divisible groups.

研究动机与目标

• 通过半单群$G$和最小共轭型$\mu$，在不依赖$p$-可除群的前提下，发展拉波普特-津形式概形的纯粹群论构造。
• 通过$G$-挠子和环路群结构，将Zink的显示理论推广至$\mathbb{Z}_p$上半单群概形的设定。
• 在$p$-幂零代数上定义函子${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$，其猜想为在超特殊水平下表示一个局部希米勒瓦族的积分模型。
• 当局部希米勒瓦数据为霍奇型时（即可嵌入$\mathrm{GL}_n$），证明该函子可表示为形式概形。

提出的方法

• 通过$\mu^\sigma(p)$的共轭作用和Witt向量上的弗罗贝尼乌斯映射，定义分次弗罗贝尼乌斯映射$\Phi_{G,\mu}: H^\mu \to L^+G_{W(k_0)}$。
• 将$(G,\mu)$-显示定义为三元组$(P, Q, u)$，其中$P$是$L^+G$-挠子，$Q$是$H^\mu$-挠子，且$u: Q \to P$是与$\Phi_{G,\mu}$相容的态射。
• 利用商叠$[L^+G_{W(k_0)} /_{\Phi_{G,\mu}} H^\mu]$来参数化$(G,\mu)$-显示，推广显示的模空间理论。
• 通过与$\sigma$-共轭类$[b]$相关的附加结构，利用$(G,\mu)$-显示的模空间构造函子${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$。
• 应用形变理论与提升技巧，研究模函子的局部结构。
• 在局部希米勒瓦数据为霍奇型时，通过将问题约化至$\mathrm{GL}_n$情形，证明${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$可表示为形式概形。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉波普特-津形式概形能否在不引用$p$-可除群的前提下，完全通过群论方式定义？
• RQ2 Zink的显示理论如何通过$G$-挠子和环路群结构推广至半单群概形的设定？
• RQ3 通过$(G,\mu)$-显示与$\sigma$-共轭类$[b]$定义的函子${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$是否可表示为形式概形？
• RQ4 在何种条件下，带有附加结构的$(G,\mu)$-显示的模空间是形式概形？
• RQ5 在霍奇型情形下，${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$的构造是否给出$p$-adic局部希米勒瓦族的积分模型？

主要发现

• 本文通过$(G,\mu)$-显示，以群论方式构造了拉波普特-津形式概形，绕过了对$p$-可除群的依赖。
• 分次弗罗贝尼乌斯映射$\Phi_{G,\mu}$定义为$\Phi_{G,\mu}(h) = \mu^\sigma(p) \cdot F(h) \cdot \mu^\sigma(p)^{-1}$，位于$G(W(R)[1/p])$中，为显示理论提供了关键结构。
• 函子${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$猜想可表示为一个形式概形，该形式概形作为超特殊水平下局部希米勒瓦族的积分模型。
• 在霍奇型情形下，通过嵌入技术将问题约化至$\mathrm{GL}_n$情形，证明了${\mathrm{RZ}}_{G,\mu,b}$的表示性。
• 该理论通过$Witt环上的$G$-挠子，建立了拉波普特-津空间的几何与半单群表示理论之间的直接联系。
• 本文证明了在几乎弗罗贝尼乌斯分离代数中，幂等且有界幂零理想是平凡的，这一技术性结果在表示性论证中被使用。