[论文解读] Gerbe-holonomy for surfaces with defect networks

Ingo Runkel, Rafał R. Suszek|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文利用带有联络的gerbe，为具有缺陷网络的二维sigma模型引入了全息形式，推导出可区分共形缺陷与拓扑缺陷的缺陷粘合条件。对于WZW模型，经典与量子的全息计算均在目标群G的中心上产生上同调的3-上链，建立了经典几何与缺陷网络中量子场论之间的深刻联系。

ABSTRACT

We define the sigma-model action for world-sheets with embedded defect networks in the presence of a three-form field strength. We derive the defect gluing condition for the sigma-model fields and their derivatives, and use it to distinguish between conformal and topological defects. As an example, we treat the WZW model with defects labelled by elements of the centre Z(G) of the target Lie group G; comparing the holonomy for different defect networks gives rise to a 3-cocycle on Z(G). Next, we describe the factorisation properties of two-dimensional quantum field theories in the presence of defects and compare the correlators for different defect networks in the quantum WZW model. This, again, results in a 3-cocycle on Z(G). We observe that the cocycles obtained in the classical and in the quantum computation are cohomologous.

研究动机与目标

• 在存在三形式场强H的情况下，形式化包含嵌入缺陷网络的sigma模型作用量。
• 通过缺陷网络在形变移动下的不变性，推导场及其导数在缺陷节点处的一致粘合条件。
• 通过推导出的粘合条件，区分共形缺陷与拓扑缺陷。
• 计算WZW模型中由G的中心Z(G)元素标记的缺陷的全息，得到Z(G)上的3-上链。
• 比较经典与量子全息计算，证明所得3-上链是上同调的。

提出的方法

• 将sigma模型作用量中的拓扑项S_top[X]形式化为靶空间M上带有联络的gerbe所关联的U(1)-值全息的对数。
• 使用局部数据(B, A, g)在图块、重叠区域和三重重叠区域上定义全息，引入变换函数f和规范势P。
• 通过双-branes（用于圆形缺陷）和互双-branes（用于节点）定义缺陷网络，将D-branes和gerbe模推广至节点结构。
• 通过作用量在缺陷网络形变移动下的不变性分析，推导缺陷粘合条件，从而得到场值与连接的相容性条件。
• 通过顶点移动构造新的网络-场构型，并计算全息差，证明此类移动下的不变性。
• 比较WZW模型中经典与量子全息计算，证明在Z(G)上得到的3-上链是上同调的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在三形式场强的情况下，如何一致地将sigma模型作用量扩展至包含节点的嵌入缺陷网络的世界面？
• RQ2 在缺陷节点处，嵌入场X及其导数的必要粘合条件是什么？它们如何区分共形缺陷与拓扑缺陷？
• RQ3 涉及多个节点和圆形缺陷的缺陷网络的全息的几何与代数结构是什么？
• RQ4 在Z(G)-标记缺陷的WZW模型中，经典全息计算如何在Z(G)上产生3-上链？
• RQ5 从经典全息计算得到的3-上链是否与从WZW模型中量子关联函数推导出的3-上链上同调？

主要发现

• 通过gerbe数据(B, A, g)并利用互双-branes将全息一致地扩展至节点，定义了具有缺陷网络的世界面的全息，推广了边界和双-brane全息。
• 通过作用量在形变移动下的不变性推导出的缺陷粘合条件，确保了节点处场构型的一致性，并可区分共形缺陷与拓扑缺陷。
• 对于由Z(G)元素标记缺陷的WZW模型，经典全息计算在Z(G)上产生3-上链，其源于gerbe的结构与变换函数。
• 在量子WZW模型中，不同缺陷网络的关联函数也产生Z(G)上的3-上链，通过理论的因子化与对称性性质计算得出。
• 经典全息计算得到的3-上链与量子计算得到的3-上链是上同调的，建立了经典几何与量子场论之间深刻的自洽性。
• 通过全息差计算验证了作用量在顶点移动下的不变性，确认了缺陷网络形式化的自洽性。