[论文解读] Improved robustness of quantum supremacy for random circuit sampling

Yasuhiro Kondo, Ryuhei Mori+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用 5

一句话总结

该论文通过证明在多项式层次不坍塌的假设下，若在加法误差为 exp(−Ω(m log m)) 范围内近似随机量子线路的输出概率，则该问题是 #P-难的（在 BPP^NP 归约下），从而为随机线路采样中的量子优越性提供了更强的复杂性理论证据。该结果适用于多种线路深度，包括常数深度和对数深度，且误差界逐步收紧。

ABSTRACT

Motivated by the recent experimental demonstrations of quantum supremacy, proving the hardness of the output of random quantum circuits is an imperative near term goal. We prove under the complexity theoretical assumption of the non-collapse of the polynomial hierarchy that approximating the output probabilities of random quantum circuits to within $\exp(-\Omega(m\log m))$ additive error is hard for any classical computer, where $m$ is the number of gates in the quantum computation. More precisely, we show that the above problem is $\#\mathsf{P}$-hard under $\mathsf{BPP}^{\mathsf{NP}}$ reduction. In the recent experiments, the quantum circuit has $n$-qubits and the architecture is a two-dimensional grid of size $\sqrt{n} imes\sqrt{n}$. Indeed for constant depth circuits approximating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n\log{n})}$ is hard. For circuits of depth $\log{n}$ or $\sqrt{n}$ for which the anti-concentration property holds, approximating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n\log^2{n})}$ and $2^{-\Omega(n^{3/2}\log n)}$ is hard respectively. We made an effort to find the best proofs and proved these results from first principles, which do not use the standard techniques such as the Berlekamp--Welch algorithm, the usual Paturi's lemma, and Rakhmanov's result.

研究动机与目标

• 在现有结果的基础上，为随机线路采样中的量子优越性提供更强的复杂性理论证据。
• 证明在特定加法误差范围内近似随机量子线路输出概率对经典计算机而言是困难的。
• 为不同线路深度（包括常数深度和对数深度）推导出近似误差的紧致界。
• 在不依赖标准技术（如 Berlekamp–Welch、Paturi 引理或 Rakhmanov 结果）的前提下实现这些结果。
• 从第一原理出发提供证明，从而加强量子优越性演示的理论基础。

提出的方法

• 基于多项式层次不坍塌的复杂性理论框架，建立硬度结果。
• 采用 BPP^NP 归约，表明在 exp(−Ω(m log m)) 加法误差范围内近似输出概率是 #P-难的。
• 分析在 2D 网格架构上、含 n 个量子比特且具有不同线路深度的随机量子线路。
• 利用反集中性质，为不同深度区域（常数深度、log n 深度和 √n 深度）推导误差界。
• 从第一原理出发构建证明，避免依赖如 Berlekamp–Welch 或 Paturi 引理等经典工具。
• 应用反集中结果，确保输出概率不过于偏斜，从而支持硬度归约。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种最小加法误差范围内，近似随机量子线路输出概率的问题会变为 #P-难？
• RQ2 近似难度如何随线路深度变化，特别是对于常数深度和对数深度的线路？
• RQ3 是否可以在不依赖标准代数技术（如 Berlekamp–Welch）的前提下建立随机线路采样硬度结果？
• RQ4 反集中性质与随机量子线路输出概率近似复杂性之间有何关系？
• RQ5 近似硬度的误差界如何依赖于线路中的门数和量子比特数？

主要发现

• 在多项式层次不坍塌的假设下，若在加法误差为 exp(−Ω(m log m)) 范围内近似随机量子线路输出概率，则该问题是 #P-难的（在 BPP^NP 归约下）。
• 对于常数深度线路，若在误差 2^−Ω(n log n) 范围内近似输出概率，则该问题是 #P-难的。
• 对于深度为 log n 的线路，该近似问题在误差 2^−Ω(n log² n) 范围内仍为 #P-难的。
• 对于深度为 √n 的线路，该近似问题在误差 2^−Ω(n^{3/2} log n) 范围内为 #P-难的。
• 结果从第一原理推导，未使用如 Berlekamp–Welch 或 Paturi 引理等标准技术。
• 反集中性质对硬度结果至关重要，尤其在 log n 深度和 √n 深度区域。