[论文解读] Infinite-thin shock layer solutions for stationary compressible conical flows and numerical results via Fourier spectral method

Aifang Qu, Xueying Su+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2023

Computational Fluid Dynamics and AerodynamicsEngineering被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于傅里叶谱方法与牛顿法的数值框架，用于求解描述静止压缩锥流中无限薄激波层解的高奇异性非线性常微分方程（ODE），特别针对Chaplygin气体和带有攻角的高超声速流。关键贡献在于在圆锥面上构造带权Dirac测度的Radon测度解，从而导出广义的牛顿-布泽曼压力定律，并获得准确的数值解，验证了压力分布与粒子轨迹的物理解释一致性。

ABSTRACT

We consider the problem of uniform steady supersonic Euler flows passing a straight conical body with attack angles, and study Radon measure solutions describing the infinite-thin shock layers, particularly for the Chaplygin gas and limiting hypersonic flows. As a byproduct, we obtain the generalized Newton-Busemann pressure laws. To construct the Radon measure solutions containing weighted Dirac measures supported on the edge of the cone on the 2-sphere, we derive some highly singular and non-linear ordinary differential equations (ODE). A numerical algorithm based on the combination of Fourier spectral method and Newton's method is developed to solve the physically desired nonnegative and periodic solutions of the ODE. The numerical simulations for different attack angles exhibit proper theoretical properties and excellent accuracy, thus would be useful for engineering of hypersonic aerodynamics.

研究动机与目标

• 利用Radon测度解对带有攻角的定常超音速锥流中的无限薄激波层进行建模。
• 推导并求解描述圆锥面上Dirac测度权重的高奇异性非线性ODE系统。
• 开发一种鲁棒的数值算法，用于计算来自奇异激波层模型的非负周期性ODE解。
• 通过压力分布与粒子轨迹的数值模拟，验证解的物理解释一致性。
• 将牛顿-布泽曼压力定律推广至非零攻角及Chaplygin气体情形。

提出的方法

• 在球坐标系中建立问题模型，包含一个圆锥体与带有攻角的均匀超音速流。
• 推导出描述代表无限薄激波层的Dirac测度权重的奇异非线性ODE系统。
• 应用傅里叶谱方法对周期性非负ODE进行高效离散化与求解。
• 将傅里叶谱方法与牛顿法结合，以提升非线性系统求解的收敛性与精度。
• 利用ODE解重构速度分量 $ u^t, w, w_\rho $，并分析圆锥面上的粒子轨迹。
• 通过数值模拟验证结果，显示压力与流动变量的单调性、对称性及物理解释一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Radon测度解构造具有非零攻角的可压缩锥流中无限薄激波层解？
• RQ2 Chaplygin气体在任意攻角下对应的广义牛顿-布泽曼压力定律为何？
• RQ3 如何高精度求解控制激波层权重的高奇异性非线性ODE，并满足非负性约束？
• RQ4 数值解中压力分布与流动变量表现出哪些物理特性，如单调性与对称性？
• RQ5 圆锥面上的粒子轨迹如何演化？其行为揭示了不同攻角下流动特性的何种信息？

主要发现

• 该数值方法成功以高精度计算出奇异ODE的非负周期解，证实了物理解释一致的无限薄激波层解的存在性。
• 随着攻角 $ \alpha_0 $ 增大，最大压力 $ \max W_C $ 上升，最小压力 $ \min W_C $ 下降，与风面压力更高、背风面压力更低的物理解释一致。
• 压力函数 $ W_C $ 的最大值与最小值恰好与理论曲线 $ \sin^2(\theta_0 + \alpha_0) $ 和 $ \sin^2(\theta_0 - \alpha_0) $ 对齐，验证了所推导的广义牛顿-布泽曼定律。
• 速度分量 $ u^t, w, w_\rho $ 在 $ \phi = 0, \pm\pi $ 处表现出预期的奇异性，尽管理论上应具有 $ C^1 $ 正则性，但这些奇异性被归因于数值误差。
• 圆锥面上的粒子轨迹趋向于 $ \phi = 0 $，表明流动在背风侧积聚，且关于 $ x^1 $-轴呈现对称行为。
• 数值结果表现出单调趋势：$ f(\phi) $ 随 $ \alpha_0 $ 增大而增加，$ w_\rho $ 在 $ \phi = \pm\pi $ 附近增大，而在 $ \phi = 0 $ 附近减小，反映出粒子撞击密度的变化。