[论文解读] Intersection cohomology of rank two character varieties of surface groups

Mirko Mauri|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 68被引用 5

一句话总结

本文使用 Kirwan–O’Grady 除 singular 化和分解定理，计算了在亏格 $ g \geq 2 $ 的黎曼曲面上，$\mathrm{GL}_2$、$\mathrm{SL}_2$ 和 $\mathrm{PGL}_2$ 的秩二特征丛空间与 Higgs 纤维丛模空间的交 E-多项式和 Poincaré 多项式。主要贡献在于证明了交 E-多项式是回文的，并为 P=W 猜想建立了基础性结果，包括 $\mathrm{SL}_2$ 与 $\mathrm{GL}_2$ 的 PI=WI 等价性、低度下的典型类生成性，以及在无辛除 singular 化时解析解中 P=W 猜想的失效。

ABSTRACT

For $G = \mathrm{GL}_2, \mathrm{SL}_2, \mathrm{PGL}_2$ we compute the intersection E-polynomials and the intersection Poincaré polynomials of the $G$-character variety of a compact Riemann surface $C$ and of the moduli space of $G$-Higgs bundles on $C$ of degree zero. We derive several results concerning the P=W conjectures for these singular moduli spaces.

研究动机与目标

• 计算在亏格 $ g \geq 2 $ 的黎曼曲面上，$G = \mathrm{GL}_2, \mathrm{SL}_2, \mathrm{PGL}_2$ 的 $G$-特征丛空间与 Higgs 纤维丛模空间的交 E-多项式和 Poincaré 多项式。
• 提供对验证秩二与任意亏格下 P=W 猜想至关重要的显式几何不变量。
• 研究在无辛除 singular 化时，P=W 猜想在奇异模空间中的有效性。
• 建立 $\mathrm{SL}_2$ 与 $\mathrm{GL}_2$ 的 PI=WI 猜想之间的等价性，并分析低度交上同调中的典型类生成性。
• 证明当特征丛空间无辛除 singular 化时，解析解的 P=W 猜想不成立。

提出的方法

• 利用 Kirwan–O’Grady 除 singular 化 $\pi_T: T \to M$ 来解析模空间 $M$ 的奇点。
• 在混合 Hodge 模的导出范畴中应用分解定理，分解 $R\pi_{T,*}\mathbb{Q}[\dim T]$，识别出所有直和项。
• 利用 perverse Leray 膜滤过与半投影代数簇上的混合 Hodge 结构，分析上同调不变量。
• 使用稳定同构奇点原理，将奇点的局部模型与全局不变量关联。
• 分析关联簇 $I_{2g-3}$ 以及奇点集 $\Sigma$ 和 $\Omega$，以计算分解定理的分量。
• 依赖于当 $g > 3$ 时 $H^*(M_{\mathrm{Dol}})$ 的非纯性及 Torelli 群作用，证明上同调映射 $H^*(M) \to IH^*(M)$ 的非单射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 $\mathrm{GL}_2$-特征丛空间的交 E-多项式是否为回文？这是否支持 PI=WI 猜想？
• RQ2 $\mathrm{SL}_2$ 与 $\mathrm{GL}_2$ 的 PI=WI 猜想是否等价？这是否能将验证问题简化为上同调的 $\Gamma$-不变部分？
• RQ3 典型类在多大程度上足以生成 $IH^{<4g-6}(M)$？这与 P=W 猜想有何关联？
• RQ4 当特征丛空间无辛除 singular 化时，解析解的 P=W 猜想是否失效？原因是什么？
• RQ5 Torelli 群在阻碍映射 $H^*(M) \to IH^*(M)$ 对于 $g > 3$ 的单射性中起什么作用？

主要发现

• 对于 $G = \mathrm{GL}_2$，交 E-多项式 $IE(M_{\mathrm{B}})$ 为回文，为 PI=WI 猜想提供了数值证据。
• $\mathrm{SL}_2$ 的 PI=WI 猜想与 $\mathrm{GL}_2$ 等价，从而可将验证问题简化为上同调的 $\Gamma$-不变部分。
• 交上同调 $IH^{<4g-6}(M)$ 由典型类自由生成，支持低度下的部分典型类生成性。
• 当 $g > 3$ 时，自然映射 $H^*(M) \to IH^*(M)$ 不是单射，意味着 $H^*(M_{\mathrm{Dol}})$ 不是纯的。
• 当 $M(C,\mathrm{GL}_n)$ 无辛除 singular 化时，解析解的 P=W 猜想不成立，原因在于例外除子中上同调类的权重不匹配。
• Kirwan–O’Grady 除 singular 化仅在存在辛除 singular 化时提供满足解析解 P=W 猜想的解析解，凸显了半小性与辛结构的必要性。