[论文解读] Intrinsic mirror symmetry and categorical crepant resolutions

Daniel Pomerleano|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 58被引用 4

一句话总结

该论文建立了仿射对数卡拉比-丘流形中辛同调与弗洛尔同调的有限性性质，证明了零度辛同调 $SH^0(X)$ 是有限生成的，并作为组合定义的斯坦利-雷伊纳德环的过滤形变而作用。此外，它表明缠绕弗洛尔群是 $SH^0(X)$ 上的有限生成模，为镜像对称中的代数有限性条件提供了辛对应，并在 $X$ 为极大退化且具有同调截面时，实现了 $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$ 的范畴化小奇点解析。

ABSTRACT

The main result of the present paper concerns finiteness properties of Floer theoretic invariants on affine log Calabi-Yau varieties $X$. Namely, we show that: (a) the degree zero symplectic cohomology $SH^0(X)$ is finitely generated and is a filtered deformation of a certain algebra defined combinatorially in terms of a compactifying divisor $\mathbf{D}.$ (b) For any Lagrangian branes $L_0, L_1$, the wrapped Floer groups $WF^*(L_0,L_1)$ are finitely generated modules over $SH^0(X).$ We then describe applications of this result to mirror symmetry, the first of which is an ``automatic generation" criterion for the wrapped Fukaya category $\mathcal{W}(X)$. We also show that, in the case where $X$ is maximally degenerate and admits a ``homological section", $\mathcal{W}(X)$ gives a categorical crepant resolution of the potentially singular variety $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$. This provides a link between the intrinsic mirror symmetry program of Gross and Siebert and the categorical birational geometry program initiated by Bondal-Orlov and Kuznetsov.

研究动机与目标

• 建立仿射对数卡拉比-丘流形上弗洛尔理论不变量的有限性性质，特别是 $SH^0(X)$ 与 $WF^*(L_0,L_1)$。
• 将 $X$ 上的辛不变量与镜像对称对应中预期的代数有限性条件联系起来。
• 证明当 $X$ 为极大退化且具有同调截面时，缠绕弗洛伊德范畴 $\mathcal{W}(X)$ 为 $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$ 提供范畴化小奇点解析。
• 弥合格罗斯特-西伯特的内在镜像对称程序与邦达尔-奥罗洛夫及库兹涅佐夫的范畴化双有理几何程序之间的鸿沟。

提出的方法

• 使用辛同调 $SH^*(X)$ 作为精确、凸辛流形的哈密顿弗洛尔同调不变量，其配备有使得其成为含单位元环的裤状乘积。
• 将缠绕弗洛尔同调 $WF^*(L_0,L_1)$ 作为 $SH^*(X)$ 上的模应用于 $X$ 中的拉格朗日子 $L_0, L_1$。
• 通过紧化除子 $\mathbf{D}$ 的各层的直和构造组合代数 $\mathcal{A}_\mathbf{k}$，并利用交集映射赋予其乘积结构。
• 定义 $\mathcal{A}_\mathbf{k}$ 的过滤形变，其伴随的分次环为除子配置的斯坦利-雷伊纳德环。
• 利用 $\mathbf{G}_m$-等变性与内森-非负（NEF）除子的过滤约束，限制形变的形式，从而得到镜像族的有限维模空间。
• 通过伴随分次中的满射性与核的消失性，证明形变环与辛同调 $SH^0(X)$ 之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射对数卡拉比-丘流形的零度辛同调 $SH^0(X)$ 在域 $\mathbf{k}$ 上是否有限生成？
• RQ2 缠绕弗洛尔群 $WF^*(L_0,L_1)$ 是否为 $SH^0(X)$ 上的有限生成模？
• RQ3 当 $X$ 为极大退化且具有同调截面时，缠绕弗洛伊德范畴 $\mathcal{W}(X)$ 是否可作为 $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$ 的范畴化小奇点解析？
• RQ4 辛同调的有限性性质如何在镜像代数簇 $X^\vee$ 中体现为代数有限性条件？

主要发现

• 零度辛同调 $SH^0(X,\mathbf{k})$ 是 $\mathbf{k}$-代数的有限生成元。
• 完整的辛同调 $SH^*(X,\mathbf{k})$ 是 $SH^0(X,\mathbf{k})$ 上的有限生成模。
• 对于任意一对拉格朗日子 $L_0, L_1$，缠绕弗洛尔群 $WF^*(L_0,L_1)$ 是 $SH^0(X)$ 上的有限生成模。
• 当 $X$ 为极大退化且具有同调截面时，$\mathcal{W}(X)$ 为 $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$ 提供范畴化小奇点解析。
• 三除子 $D_1,D_2,D_3$ 的例子的镜像族同构于由 $u(x_1x_2x_3 - u) = 0$ 定义的超曲面，由于存在 $\mathbb{A}^1$ 量级的奇点，该族中无光滑成员。
• 斯坦利-雷伊纳德环的形变被限制在七参数族 $g_{\vec{a}}$ 内，且通过过滤同构，所得环同构于 $\mathcal{A}_\Lambda$。