[论文解读] Maximizing Submodular Functions with the Diminishing Return Property over the Integer Lattice.

Tasuku Soma, Yuichi Yoshida|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了在基数、拟模和背包约束下，针对整数格点上的非负单调子模函数最大化问题的近似算法，通过将函数连续扩展到欧几里得空间并应用连续贪心算法，实现了 (1−1/e−ϵ) 近似解，其查询复杂度依赖于 n、ϵ、r 和 w。

ABSTRACT

The problem of maximizing non-negative monotone submodular functions under a certain constraint has been intensively studied in the last decade. In this paper, we address the problem for functions defined over the integer lattice. Suppose that a non-negative monotone submodular function $f:\mathbb{Z}_+^n o \mathbb{R}_+$ is given via an evaluation oracle. Furthermore, we assume that $f$ satisfies the diminishing return property, which is not an immediate consequence of the submodularity when the domain is the integer lattice. Then, we show (i) a $(1-1/e-\epsilon)$-approximation algorithm for a cardinality constraint with $\widetilde{O}(\frac{n}{\epsilon}\log \frac{r}{\epsilon})$ queries, where $r$ is the maximum cardinality of feasible solutions, (ii) a $(1-1/e-\epsilon)$-approximation algorithm for a polymatroid constraint with $\widetilde{O}(\frac{nr}{\epsilon^4}+n^6)$ queries, where $r$ is the rank of the polymatroid, and (iii) a $(1-1/e-\epsilon)$-approximation algorithm for a knapsack constraint with $\widetilde{O}(\frac{n^2}{\epsilon^{18}}\log \frac{1}{w})(\frac{1}{\epsilon})^{O(1/\epsilon^8)}$ queries, where $w$ is the minumum weight of elements. Our algorithms for polymatroid constraints and knapsack constraints first extend the domain of the objective function to the Euclidean space and then run the continuous greedy algorithm. We give two different kinds of continuous extensions, one is for knapsack constraints and the other is for polymatroid constraints, which might be of independent interest.

研究动机与目标

• 解决在各种约束条件下，对整数格点上的非负单调子模函数进行最大化的问题。
• 证明在整数格点设置下，递减回报性质并非由子模性所隐含，并明确将其作为前提条件。
• 为基数、拟模和背包约束设计具有理论保证的高效近似算法。
• 通过针对每类约束类型量身定制的新连续扩展方法，将函数定义域扩展至欧几里得空间。
• 实现 (1−1/e−ϵ) 近似解，且查询复杂度在 n、ϵ、r 和 w 上具有高效的可扩展性。

提出的方法

• 本文提出了子模函数到欧几里得空间的两种不同连续扩展：一种用于拟模约束，另一种用于背包约束。
• 对扩展后的连续函数应用连续贪心算法，以获得分数解。
• 该算法使用评估预言机查询函数值，并通过基于梯度的更新迭代改进解。
• 对于基数约束，通过 O~(n/ϵ log(r/ϵ)) 次查询实现近似解。
• 对于拟模约束，使用 O~(nr/ϵ⁴ + n⁶) 次查询，其连续扩展保留了递减回报性质。
• 对于背包约束，采用专门设计的连续扩展，实现 O~(n²/ϵ¹⁸ log(1/w))(1/ϵ)^{O(1/ϵ⁸)} 次查询。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在 n 和 ϵ 上实现次线性查询复杂度的前提下，为整数格点上的基数约束子模最大化问题获得 (1−1/e−ϵ) 近似解？
• RQ2 如何将连续贪心方法扩展至整数格点上的拟模约束，通过合适的连续扩展实现？
• RQ3 在整数格点上实现背包约束子模最大化的 (1−1/e−ϵ) 近似解，其查询复杂度是多少？
• RQ4 我们能否为整数格点上的子模函数定义一种连续扩展，使其在背包和拟模设置下保留递减回报性质？
• RQ5 当明确假设递减回报性质时，不同整数格点约束下的子模最大化问题的理论查询复杂度边界是什么？

主要发现

• 通过 Õ(n/ϵ log(r/ϵ)) 次查询，实现了基数约束下的 (1−1/e−ϵ) 近似算法。
• 对于拟模约束，算法通过 Õ(nr/ϵ⁴ + n⁶) 次查询实现了 (1−1/e−ϵ) 近似解。
• 对于背包约束，算法通过 Õ(n²/ϵ¹⁸ log(1/w))(1/ϵ)^{O(1/ϵ⁸)} 次查询实现了 (1−1/e−ϵ) 近似解。
• 本文提出了两种新颖的连续扩展——一种用于拟模约束，一种用于背包约束——每种扩展均保留了递减回报性质。
• 连续扩展使得连续贪心算法可应用于整数格点设置，从而实现理论保证。
• 研究结果表明，在整数格点设置下，递减回报性质是一个必要且非平凡的假设，其独立于子模性本身。