[论文解读] More on one class of fractals

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文研究具有 Moran 结构的分形集，重点关注在 s-进制和负 s-进制表示中受限制的数字或数字组合使用下定义的类似 Cantor 集的拓扑、度量和分形性质。通过递归缩放关系推导出 Hausdorff 维数的精确公式，并表明非自相似集（例如在负 s-进制系统下）的维数可严格高于其自相似对应物。

ABSTRACT

This article is devoted to sets having the Moran structure. The main attention is given to topological, metric, and fractal properties of certain sets whose elements have restrictions on using digits or combinations of digits in own representations.

研究动机与目标

• 分析具有 Moran 结构的集合的拓扑、度量和分形性质，特别是通过 s-进制表示中受限制的数字使用所定义的集合。
• 扩展对非自相似分形中 Hausdorff 维数的理解，特别是那些由负 s-进制和交替 Cantor 级数表示产生的分形。
• 通过递归缩放和测度论技术，为禁止或受限于数字组合的集合建立精确的维数公式。
• 在相同的数字约束下，比较自相似与非自相似分形集，揭示其在分形维数上的差异。
• 通过分析不被经典自相似模型捕捉的复杂缩放行为的集合，为多分形形式主义做出贡献。

提出的方法

• 使用 Moran 构造框架，通过嵌套、不相交且几何相似的集合定义 ℝⁿ 中的极限分形集。
• 应用 s-进制和负 s-进制表示，定义仅允许特定数字序列（例如三进制中的 {1,2}）的集合。
• 通过涉及缩放因子 ω₁, ω₂, ω₃, ω₄ 和满足乘积恒等式的序列 (γₖ) 的递归方程推导 Hausdorff 维数。
• 使用 Salem 函数 fξ 将受限制数字的集合与已知的分形构造联系起来，实现维数的转移。
• 利用引理 6 和 7 计算集合的下确界和上确界，建立直径和局部结构的界限。
• 应用定理 13，通过满足乘法方程的 γₖ 的极限下确界将局部结构与维数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 s-进制或负 s-进制表示中限制数字组合，如何影响所生成分形集的 Hausdorff 维数？
• RQ2 通过负 s-进制系统构造的非自相似分形，其 Hausdorff 维数是否可能高于具有相同数字约束的自相似对应物？
• RQ3 在混合 s-进制系统中，由禁止数字模式定义的 Moran 型集合的 Hausdorff 维数的精确公式是什么？
• RQ4 缩放因子 ω₁, ω₂, ω₃, ω₄ 在递归的非均匀缩放框架中如何影响维数？
• RQ5 多分形形式主义在不被经典自相似模型捕捉的复杂非均匀缩放行为的集合中，可被扩展到何种程度？

主要发现

• 当 p₀ = 1/6, p₁ = 1/3, p₂ = 1/2 时，自相似集 𝕊_(P₃,0) 的 Hausdorff 维数约为 0.408985。
• 在相同参数下，非自相似集 𝕊_(-P₃,0) 的 Hausdorff 维数更高，约为 0.422592。
• 当 p₀ = p₂ = 0.25 且 p₁ = 0.5 时，集合 𝕊_(P₃,0) 和 𝕊_(-P₃,0) 均为自相似，其 Hausdorff 维数约为 0.46496。
• 𝕊_(P₃,0) 的闭包的直径为 d(𝕊̅_(P₃,0)) = p₀ + p₁，而其内部的直径为 d(𝕊̆_(P₃,0)) = 1 − p₀。
• 该集合的局部结构由涉及四个缩放因子 ω₁, ω₂, ω₃, ω₄ 的递归分支结构表征，每一层 k 上有 2ᵏ⁻² 个元素等分布。
• Hausdorff 维数由 α* = lim infₖ→∞ γₖ 给出，其中序列 (γₖ) 满足涉及缩放因子及其幂的复杂数乘方程。