[论文解读] Multilevel Picard approximations for high-dimensional semilinear second-order PDEs with Lipschitz nonlinearities

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 54被引用 10

一句话总结

该论文提出了一种新颖的多级皮卡德（MLP）逼近方法，用于求解具有利普希茨连续扩散系数的高维半线性二阶偏微分方程（PDE），克服了维度灾难问题。该方法在精度 $\varepsilon^{-1}$ 和维度 $d$ 上均实现多项式复杂度，证明了计算成本随 $d$ 和 $\varepsilon^{-1}$ 的增长至多为多项式增长，从而将先前仅限于仿射线性扩散系数的MLP结果扩展至更一般的情形。

ABSTRACT

The recently introduced full-history recursive multilevel Picard (MLP) approximation methods have turned out to be quite successful in the numerical approximation of solutions of high-dimensional nonlinear PDEs. In particular, there are mathematical convergence results in the literature which prove that MLP approximation methods do overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of nonlinear second-order PDEs in the sense that the number of computational operations of the proposed MLP approximation method grows at most polynomially in both the reciprocal $1/ε$ of the prescribed approximation accuracy $ε>0$ and the PDE dimension $d\in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$. However, in each of the convergence results for MLP approximation methods in the literature it is assumed that the coefficient functions in front of the second-order differential operator are affine linear. In particular, until today there is no result in the scientific literature which proves that any semilinear second-order PDE with a general time horizon and a non affine linear coefficient function in front of the second-order differential operator can be approximated without the curse of dimensionality. It is the key contribution of this article to overcome this obstacle and to propose and analyze a new type of MLP approximation method for semilinear second-order PDEs with possibly nonlinear coefficient functions in front of the second-order differential operators. In particular, the main result of this article proves that this new MLP approximation method does indeed overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of semilinear second-order PDEs.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：MLP方法是否能够克服具有非仿射线性扩散系数的半线性二阶PDE的维度灾难问题。
• 将MLP逼近的理论基础从第二阶算子中仅限于仿射线性系数的严格假设中拓展出来。
• 为适用于一般利普希茨连续扩散系数的新MLP方案建立严格的收敛性分析。
• 证明所提方法的计算复杂度在反精度 $\varepsilon^{-1}$ 和空间维度 $d$ 上均呈多项式增长。

提出的方法

• 该方法将半线性PDE重述为随机不动点方程，其中解是随机积分算子的不动点。
• 采用全历史递归多级蒙特卡洛方法来逼近不动点迭代，通过在逐步细化的时间划分上使用嵌套期望。
• 该算法使用一系列近似 $U_{n,M}^{d,\theta}$，其中每一层 $n$ 通过递归蒙特卡洛采样以 $M^n$ 条路径对前一层进行细化。
• 关键组成部分包括使用函数空间值格朗沃尔型不等式进行递归误差界分析，以及针对随机不动点方程的扰动分析。
• 该方法结合欧拉-玛丽亚米方法对底层SDE进行离散化，并通过递归边界控制近似误差的传播。
• 通过将总计算成本 $\mathfrak{C}_{d,n,M}$ 以 $M^n$、$d$ 和问题参数的形式进行有界，分析复杂度，从而得出 $d$ 和 $\varepsilon^{-1}$ 上的多项式增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 MLP逼近方法是否能够克服具有普遍利普希茨连续扩散系数的半线性二阶PDE的维度灾难问题？
• RQ2 当扩散系数为非线性时，所提出的MLP方案是否在维度 $d$ 和反精度 $\varepsilon^{-1}$ 上均保持多项式复杂度？
• RQ3 在二阶算子中存在非线性项的情况下，如何严格地有界MLP逼近的递归误差结构？
• RQ4 对于此类新类型的PDE，计算成本对PDE维度 $d$ 和所需精度 $\varepsilon$ 的依赖关系如何？

主要发现

• 所提出的MLP逼近方法在 $L^2$ 范数下误差不超过 $\varepsilon$，且计算成本被有界于 $\mathfrak{c}(1 + d\mathfrak{v})d^{(\gamma+4)(2c+2)}\varepsilon^{-(\gamma+4)}$。
• 计算复杂度在维度 $d$ 和反精度 $\varepsilon^{-1}$ 上均呈多项式增长，证明该方法克服了维度灾难。
• 该方法适用于具有普遍时间跨度和非仿射线性扩散系数的PDE，扩展了以往仅限于仿射线性情形的结果。
• 通过函数空间值格朗沃尔不等式建立了非递归误差界，并在PDE非线性项满足利普希茨连续性条件下证明了收敛性。
• 复杂度界通过多级蒙特卡洛方案的递归成本分析得出，对路径数量和层级数实现了显式控制。