[论文解读] Note on higher-point correlation functions of the $T\bar{T}$ or $J\bar{T}$ deformed CFTs

Song He|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 73被引用 4

一句话总结

本文使用微扰CFT方法计算了$T\bar{T}$和$J\bar{T}$形变二维共形场论（CFT）中通用n点关联函数的一阶修正。通过围线积分和Ward恒等式推导出这些修正的解析表达式，并通过证明在伊辛模型中，时间有序排列之外的关联函数（OTOC）在一阶下保持不变，确认了两种形变均保持可积性，表明未出现可积性破坏。

ABSTRACT

We investigate generic n-point correlation functions of conformal field theories (CFTs), with $T\bar{T}$ and $J\bar{T}$ deformations, in terms of the perturbative CFT approach. We systematically obtain the first order correction to the generic correlation functions of CFTs with $T\bar{T}$ or $J\bar{T}$ deformation. We compute the out-of-time ordered correlation function (OTOC) in the Ising model with $T\bar{T}$ or $J\bar{T}$ deformation, which confirms that these deformations do not change the integrable property up to the first order level.

研究动机与目标

• 系统计算$T\bar{T}$和$J\bar{T}$形变CFT中通用n点关联函数的一阶修正。
• 通过研究时间有序排列之外的关联函数（OTOC），分析$T\bar{T}$和$J\bar{T}$形变是否影响底层CFT的可积性。
• 将用于两和三点函数的微扰方法系统扩展至高阶点函数，利用全纯与反全纯交叉比。
• 使用围线积分和$T\bar{T}$与$J\bar{T}$型算符的简化记号，为形变关联函数提供显式解析表达式。

提出的方法

• 应用微扰CFT方法，将拉格朗日量在CFT临界点附近展开，引入小耦合常数$\lambda$，得到一阶修正形式为$\lambda \int d^2z \langle O(z,\bar{z}) \phi_1(z_1) \cdots \phi_n(z_n) \rangle$，出现在未形变CFT中。
• 利用Ward恒等式，根据$2n-3$个全纯与反全纯交叉比约束关联函数的结构，简化一阶修正的计算。
• 引入专门的积分$\mathcal{I}_{i,j}$以处理关联函数中的奇点，并通过已知积分的导数推导出递推关系。
• 使用维度正规化方法，取$d = 2 + \tilde{\epsilon}$以调节发散，尤其针对$\mathcal{I}_{221}$等积分，提取$\tilde{\epsilon} \to 0$极限下的极点和对数项。
• 在$T\bar{T}$和$J\bar{T}$形变的伊辛模型中计算OTOC，以检验量子混沌与可积性，采用大$c$极限和渐近行为分析。
• 通过将结果用引入的$\mathcal{I}_{i,j}$记号重表达，与先前文献中的已知四点函数结果交叉验证，确认一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在耦合常数的一阶近似下，$T\bar{T}$形变如何修改CFT中通用n点关联函数？
• RQ2 对$J\bar{T}$形变的n点函数，其一阶修正结构为何？与$T\bar{T}$情形有何不同？
• RQ3 在通过OTOC测量时，$T\bar{T}$或$J\bar{T}$形变是否会改变底层可积CFT的可积性？
• RQ4 微扰CFT方法能否系统性地推广至两和三点函数以外的高阶点函数？
• RQ5 Ward恒等式与交叉比结构如何约束形变CFT中一阶修正的形式？

主要发现

• 通过微扰CFT和围线积分，推导出$T\bar{T}$与$J\bar{T}$形变CFT中通用n点关联函数的一阶修正，显式依赖于全纯与反全纯交叉比。
• 在$T\bar{T}$形变的伊辛模型中，OTOC在长时间行为下无变化，确认该形变未破坏可积性。
• 同样，$J\bar{T}$形变的OTOC在一阶下也保持不变，表明原始CFT的可积性在该形变下得以保持。
• 本文提出了一套系统化的记号$\mathcal{I}_{i,j}$，用于处理高阶点函数中出现的复杂数学积分，使$T\bar{T}$与$J\bar{T}$形变四点函数的表达式更加紧凑。
• 在$d=2+\tilde{\epsilon}$维下计算了积分$\mathcal{I}_{221}$的发散部分，得到结果$\frac{8\pi}{|z_{12}|^6}\left(\frac{4}{\tilde{\epsilon}} + 2\log|z_{12}|^2 + 2\log\pi + 2\gamma - 5\right)$，与文献中已知结果一致。
• 以$\mathcal{I}_{i,j}$表示的$\mathcal{I}_{122}$与$\mathcal{I}_{11111}$的推导结果，重现了先前工作中关于$J\bar{T}$形变四点函数的结果，验证了该方法与记号的有效性。