[论文解读] On local zeta-integrals for GSp(4) and GSp(4) x GL(2)

David Loeffler|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文证明了当 $\mathrm{GL}(2)$ 表示非超cuspidal 时，Novodvorsky 的局部 L-因子积分定义与 $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ 在非阿基米德局部域上的标准 $L$-因子相容。此外，本文识别了 $L$-因子中异常极点与次正则极点背后的 Langlands 参数条件，并推导出其在 Gan–Gross–Prasad 型分支律问题中的后果，特别是针对可约或非典型表示的情形。

ABSTRACT

We prove that Novodvorsky's definition of local L-factors for generic representations of GSp(4) x GL(2) is compatible with the local Langlands correspondence when the GL(2) representation is non-supercuspidal. We also give an interpretation in terms of Langlands parameters of the "exceptional" poles of the GSp(4) x GL(2) L-factor, and of the "subregular" poles of the GSp(4) L-factor studied in recent work of Roesner and Weissauer.

研究动机与目标

• 证明当 $\mathrm{GL}(2)$ 表示非超cuspidal 时，Novodvorsky 对 $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ 的 $L$-因子的 zeta-积分定义与标准 $L$-因子一致。
• 通过 Langlands 参数解释 $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ $L$-因子的异常极点，特别是通过 $\mathrm{GSp}(4)$ 与 $\mathrm{GL}(2)$ 参数张量积中的未分歧分量。
• 利用 Langlands 参数对 $\mathrm{GSp}(4)$ $L$-因子的次正则极点提供概念性解释，区分一维与二维自对偶未分歧分量。
• 推导出 Gan–Gross–Prasad 型分支律的后果，特别是针对 $\mathrm{GSp}(4)$ 的可约或非典型表示。

提出的方法

• 利用 Novodvorsky 对 $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ 的 zeta-积分与 Piatetski-Shapiro 对 $\mathrm{GSp}(4)$ 的 zeta-积分之间的关系，依赖于分裂 Bessel 模型的选择。
• 应用局部 Langlands 对应与 Shahidi 方法比较 $L$-因子，利用这些构造之间已知的一致性。
• 通过条件 $\chi_\pi \chi_\sigma |\cdot|^{2s_0} = 1$ 分析 $L$-因子的极点，将异常极点与 $\phi_\pi \otimes \phi_\sigma$ 的 Langlands 参数中未分歧分量联系起来。
• 使用比值 $\frac{L(\pi \times \sigma, s) L(\pi \times \sigma, s+1)}{L(\pi \times \sigma \times \mathrm{St}, s+\frac{1}{2})}$ 作为检测异常极点的标准，基于引理 7.1。
• 应用 Rösner 与 Weissauer 关于 $\mathrm{GSp}(4)$ $L$-因子的结果，以及 Moeglin–Waldspurger 的重数结果，分析 $\mathrm{SO}(4,F)$-不变同态的分支律。
• 对表示 $\Xi = \Sigma \boxtimes \Sigma$ 使用滤子技术，研究 $\mathrm{Hom}_H(\pi \otimes \Xi, \mathbb{C})$ 的维数，特别关注 $s = -\frac{1}{2}$ 处的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\mathrm{GL}(2)$ 表示非超cuspidal 时，Novodvorsky 对 $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ 的 $L$-因子的 zeta-积分定义是否与标准 $L$-因子一致？
• RQ2 异常极点的 Langlands 参数理论解释是什么，即 $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ $L$-因子的异常极点？
• RQ3 在 $\pi$ 的 Langlands 参数满足何种条件下，$s_0$ 成为 $\mathrm{GSp}(4)$ $L$-因子的次正则极点？
• RQ4 这些 $L$-因子极点结构对涉及 $\mathrm{GSp}(4)$ 表示的张量积中 $\mathrm{SO}(4,F)$-不变同态的重数有何影响？

主要发现

• 定理 A 确认了当 $\mathrm{GL}(2)$ 表示非超cuspidal 时，Novodvorsky 的 $L^\mathrm{Nov}$-因子与标准 $L$-因子在 $\mathrm{GSp}(4) \times \mathrm{GL}(2)$ 上一致，包括标准系列与 Steinberg 表示。
• 定理 B 建立了 $L^\mathrm{Nov}(\pi \times \sigma, s)$ 的异常极点与比值 $\frac{L(\pi \times \sigma, s) L(\pi \times \sigma, s+1)}{L(\pi \times \sigma \times \mathrm{St}, s+\frac{1}{2})}$ 的极点精确对应，前提为非超cuspidal 假设。
• 定理 C 表明，$\mathrm{GSp}(4)$ $L$-因子的极点 $s_0$ 为次正则当且仅当 $\pi$ 的 Langlands 参数包含一个一维未分歧分量，或一个二维自对偶未分歧扭的 Steinberg 参数。
• 当 $\pi$ 为典型表示，且 $\sigma = \Sigma \boxtimes \sigma$，其中 $\Sigma$ 是 $\mathrm{SO}(3,F)$ 的 Steinberg 表示时，空间 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{SO}(4,F)}(\pi \otimes \sigma, \mathbb{C})$ 的维数至多为 1，且恰好为 1，除非 $s = -\frac{1}{2}$ 是 $L(\pi, s)$ 的次正则极点。
• 在 $\mathrm{Hom}_H(\pi \otimes \Xi, \mathbb{C})$ 中的典范非零同态 $\mathfrak{z}$ 限制到 $\Xi_{00} = \mathrm{St} \boxtimes \mathrm{St}$ 非平凡，当且仅当 $s = -\frac{1}{2}$ 不是 $L(\pi, s)$ 的次正则极点。
• 当 $s = -\frac{1}{2}$ 不是次正则极点时，$\mathrm{Hom}_H(\pi \otimes \Xi, \mathbb{C})$ 为一维，且由 $\mathfrak{z}$ 张成，且 $\Xi$ 的每个非典型子商表示与 $\pi$ 的 $H$-不变同态空间均为平凡。