[论文解读] On the Bruhat-Tits stratification of a quaternionic unitary Shimura variety

Haining Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文在非分歧素数处建立了酉型四元数Rapoport-Zink空间特殊纤维的Bruhat-Tits分层，将其与一个分裂辛群的Bruhat-Tits复形联系起来。本文将分层与经典Deligne-Lusztig簇相联系，并将结果应用于显式描述相关Shimura簇的超奇异点集，通过群论与局部模型技术实现了该分层的几何实现。

ABSTRACT

In this note we study the special fiber of the Rapoport-Zink space attached to a quaternionic unitary group. The special fiber is described using the so called Bruhat-Tits stratification and is intimately related to the Bruhat-Tits building of a split symplectic group. As an application we describe the supersingular locus of the related Shimura variety.

研究动机与目标

• 通过Bruhat-Tits分层描述在非分歧素数处的酉型四元数Rapoport-Zink空间的特殊纤维。
• 将该分层与一个分裂辛群的Bruhat-Tits复形联系起来。
• 通过分层显式描述相关Shimura簇的超奇异点集。
• 将Bruhat-Tits分层与仿射Deligne-Lusztig簇进行比较，并与先前工作保持一致。

提出的方法

• 本文利用Rapoport-Zink的统一化定理，将Rapoport-Zink空间的特殊纤维与具有附加结构的p-可除群的模空间联系起来。
• 通过分析相关等特征值上格点的相对位置，结合基单纯形与复形的面，应用Bruhat-Tits分层。
• 分层通过群 $ J_b $ 的作用构造，分层由 $ J_b $-轨道在Bruhat-Tits复形中的面索引。
• 每个分层被识别为经典Deligne-Lusztig簇 $ X(w_ au) $，其通过帕拉霍里克子群中的双陪集条件定义。
• 该方法依赖于局部情形下的同源技巧，以关联同一模问题的不同群论实现。
• 本文将结果与仿射Deligne-Lusztig簇进行比较，确认在 $ GSpin(3,2) $-型情形下与 [GH15] 和 [GHN16] 的一般框架一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 酉型四元数Rapoport-Zink空间特殊纤维的Bruhat-Tits分层如何与一个分裂辛群的Bruhat-Tits复形相关联？
• RQ2 当四元数代数在 $ p $ 处分歧时，相关Shimura簇的超奇异点集的几何结构是什么？
• RQ3 Rapoport-Zink空间的分层如何对应于经典Deligne-Lusztig簇？
• RQ4 局部情形下的同源技巧在描述分层时起到何种作用？
• RQ5 在此背景下，Bruhat-Tits分层与 $ J $-分层及仿射Deligne-Lusztig簇有何比较关系？

主要发现

• 酉型四元数Rapoport-Zink空间的特殊纤维允许一个由 $ au $-不变子集 $ au \neq \tau $ 的仿射Dynkin图顶点集索引的Bruhat-Tits分层。
• 分层 $ \bigcup_{i \notin J_b \backslash J_b \bigcap \breve{K}_{\tilde{\bbS} - \tau}} iX(w_\tau) $ 同构于经典Deligne-Lusztig簇 $ X(w_\tau) $，其中 $ X(w_\tau) $ 由双陪集条件 $ g^{-1} \tau \tau(g) \notin \breve{I} w_\tau \breve{I} $ 定义。
• 对应于 $ \tau = \{1\} $ 的分层 $ \bigcup_{i \notin J_b \bigcap \breve{K}_{\tilde{\bbS} - \tau}} iX(w_\tau) $ 为0维，对应于超特殊点的集合。
• 分层 $ \bigcup_{i \notin J_b \bigcap \breve{K}_{\tilde{\bbS} - \{0,2\}}} iX(w_{\{0,2\}}) $ 同构于 $ \bbP^1 $ 中 $ \bbF_{p^2} $-点的补集，对应于参数模情形。
• Rapoport-Zink空间的Bruhat-Tits分层与Shimura簇的超奇异点集的分层完全一致，每个分层对应于Bruhat-Tits复形的一个面。
• 结果与仿射Deligne-Lusztig簇的一般理论一致，并证实在此 $ GSpin(3,2) $-型情形下，$ J $-分层与Bruhat-Tits分层一致。