[论文解读] On the embedding complexity of Liouville manifolds

Sheel Ganatra, Kyler Siegel|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用 5

一句话总结

本文引入了一类新的辛不变量，源自线性化接触同调及其 $σ_{\infty}$-结构，用于阻碍黎曼流形之间的精确辛嵌入。关键贡献在于，通过伪全纯曲线技术（无需虚拟扰动）完全刻画了复射影空间中一般相交除子补全之间的嵌入关系。

ABSTRACT

We define a family of symplectic invariants which obstruct exact symplectic embeddings between Liouville manifolds, using the general formalism of linearized contact homology and its L-infinity structure. As our primary application, we investigate embeddings between normal crossing divisor complements in complex projective space, giving a complete characterization in many cases. Our main embedding results are deduced explicitly from pseudoholomorphic curves, without appealing to Hamiltonian or virtual perturbations.

研究动机与目标

• 开发用于阻碍黎曼流形之间精确辛嵌入的辛不变量。
• 将这些不变量应用于分类复射影空间中一般相交除子补全之间的嵌入关系。
• 通过伪全纯曲线提供显式阻碍，且不依赖于虚拟或哈密顿扰动。
• 将该框架推广至光滑射影代数簇中的一般除子补全，并探索高亏格曲线的类比。

提出的方法

• 作者利用线性化接触同调的 $σ_{\infty}$-结构定义不变量，聚焦于辛场论（SFT）模空间中的形式曲线与锚点。
• 他们引入一个简化的不变量 $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$，以曲线计数的形式捕捉嵌入阻碍。
• 该方法依赖于颈部拉伸与SFT紧致性，分析黎曼流形中伪全纯曲线的渐近行为。
• 阻碍来源于目标空间中某些类 Gromov–Witten 不变量 $\mathrm{GW}_{M,A}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ 的非零性。
• 该方法通过直接处理SFT框架中规则且简单的伪全纯曲线，避免了虚拟周期技术。
• 对于余切丛，这些不变量与有理同伦论和弦拓扑相关联，使得其可通过几何与拓扑数据进行计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 不变量 $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ 是否能检测 $\mathbb{CP}^n$ 中除子补全之间黎曼嵌入的不存在性？
• RQ2 在给定维数下，$\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ 在对称性异样仿射空间中可取哪些值？
• RQ3 在无有理曲线的流形（如高亏格黎曼曲面的积）中，是否存在非平凡的黎曼嵌入阻碍？
• RQ4 这些不变量能否检测到高维黎曼流形域中不存在具有负截面曲率的拉格朗日子流形？
• RQ5 这些不变量在退化与韦伊斯坦联络下如何表现？

主要发现

• 不变量 $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ 对 $\mathbb{CP}^n$ 中一般相交除子补全之间的黎曼嵌入提供了完全阻碍，其显式计算基于SFT与Gromov–Witten不变量。
• 对于 $\mathbb{C}^n \setminus P^{-1}(0)$，其中 $P$ 为布里施科恩多项式，不变量 $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ 对所有 $m \geq 0$ 有限，暗示其可能阻碍嵌入到更大空间中。
• 在 $M = \mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1$ 的情形下，对于双次数为 $(d,1)$ 的曲线，有 $\mathrm{GW}_{M,A}\langle\mathcal{T}^{2d}p\rangle = 1 \neq 0$，从而可实现显式阻碍计算。
• 当 $\dim(Q) \geq 6$ 时，若 $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle(D^*Q) < \infty$，则 $Q$ 无法具有负截面曲率的黎曼度量。
• 对于具有负曲率的流形的余切丛，不变量 $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ 为无穷大，从而提供了此类嵌入的拓扑阻碍。
• 在 $\pi_2(M) = 0$ 的高亏格情形下，标准不变量消失，提示需要基于高亏格伪全纯曲线的不变量。