[论文解读] On the precanonical structure of the Schrödinger wave functional

Igor V. Kanatchikov|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 36被引用 8

一句话总结

该论文表明，量子场论中的标准功能型薛定谔波 functional 是基于德东德-外尔哈密顿形式的预规范量化框架在连续极限下的结果。通过引入一个表示紫外空间体积尺度的小参数 $\varkappa$，预规范方法得到满足协变偏微分方程的克利福德值波函数；当极限 $1/\varkappa \to 0$ 时，该方程精确地退化为规范的功能型薛定谔方程。

ABSTRACT

We show that the Schrödinger wave functional may be obtained as the product integral of precanonical wave functions on the space of field and space-time variables. The functional derivative Schrödinger equation underlying the canonical field quantization is derived from the partial derivative covariant analogue of the Schrödinger equation, which appears in the precanonical field quantization based on the De Donder-Weyl generalization of the Hamiltonian formalism for field theory. The representations of precanonical quantum operators typically contain an ultraviolet parameter $\varkappa$ of the dimension of the inverse spatial volume. The transition from the precanonical description of quantum fields in terms of Clifford-valued wave functions and partial derivative operators to the standard functional Schrödinger representation obtained from canonical quantization is accomplished if $\frac{1}{\varkappa} ightarrow 0$ and $\frac{1}{\varkappa}γ_0$ is mapped to the infinitesimal spatial volume element $\mathrm{d}\mathbf{x}$. Thus the standard QFT obtained via canonical quantization corresponds to the quantum theory of fields derived via precanonical quantization in the limiting case of an infinitesimal value of the parameter $\frac{1}{\varkappa}$.

研究动机与目标

• 澄清预规范量化与量子场论中标准规范量化之间的关系。
• 通过利用时空对称的场量化方法，解决量子理论与相对论之间的概念张力。
• 证明功能型薛定谔表示是预规范波函数极限情况的产物。
• 利用乘积积分结构，严格推导出标准薛定谔方程的协变、预规范类比形式。
• 将参数 $\varkappa$ 解释为基本的紫外尺度，可能与量子引力相关。

提出的方法

• 使用场变量与时空变量空间上的偏导数，而非规范量子场论中的泛函导数，构建预规范薛定谔方程。
• 引入一个具有空间体积倒数量纲的参数 $\varkappa$，其在预规范量子算符表示中体现为最小体积分辨率。
• 通过极限 $1/\varkappa \to \mathrm{d}\mathbf{x}$ 推导出规范的功能型薛定谔方程，其中 $\frac{1}{\varkappa}\gamma_0$ 映射到空间体积元。
• 使用乘积积分公式（公式 3.31）从限制在类空超曲面 $\Sigma$ 上的预规范波函数 $\Psi$ 构造出泛函波函数 $\mathbf{\Psi}$。
• 证明 $\mathbf{\Psi}$ 的时间演化完全由满足预规范方程的 $\Psi_{\Sigma}$ 的时间演化决定。
• 依赖德东德-外尔协变哈密顿形式，将规范结构推广至无首选时间变量的时空对称场论。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于德东德-外尔形式的预规范量化框架如何与量子场论中的标准功能型薛定谔表示相关联？
• RQ2 在预规范量子场论中，特别是作为紫外正则化手段时，参数 $\varkappa$ 的物理与数学作用是什么？
• RQ3 能否将具有泛函导数的规范薛定谔方程作为具有偏导数的预规范方程的极限情况推导出来？
• RQ4 预规范量化的时空对称结构如何保持明显的洛伦兹不变性，并避免对全局时间叶状结构的依赖？
• RQ5 乘积积分构造在连接预规范波函数与标准泛函波函数泛函中的意义是什么？

主要发现

• 功能型薛定谔波泛函作为极限 $\frac{1}{\varkappa} \to \mathrm{d}\mathbf{x}$ 出现，其中 $\frac{1}{\varkappa}\gamma_0$ 映射到无穷小空间体积元。
• 通过乘积积分公式（公式 3.31）从预规范协变薛定谔方程恢复出标准规范薛定谔方程，该公式从 $\Psi_{\Sigma}$ 构造出 $\mathbf{\Psi}$。
• 预规范波函数 $\Psi(y,x)$ 满足一个类似狄拉克的方程，其中德东德-外尔哈密顿量取代了质量项，且为克利福德值。
• 参数 $\varkappa$ 充当具有空间体积倒数量纲的紫外正则化器，其趋于零的极限对应于规范量子场论的连续极限。
• 预规范量化保持了时空对称性，避免了对特殊时间变量的依赖，因此适用于量子引力和非全局双曲时空。
• 自由标量场的真空态被恢复为所有空间点上谐振子基态的乘积，该结果由每个 $\mathbf{x}$ 处的预规范哈密顿量导出。