[论文解读] Precanonical quantization and the Schrödinger wave functional revisited

Igor V. Kanatchikov|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 46被引用 9

一句话总结

本文建立了预规范量子化（其中场论在不依赖于特定时间或无穷维配置空间的情况下进行形式化）与标准功能型薛定谔表示之间的严格联系。结果表明，规范功能导数薛定谔方程作为预规范狄拉克型方程在 $\gamma^{0}\varkappa \rightarrow \delta(\mathbf{0})$ 极限下的极限情形出现，其中 $\varkappa$ 是与基本体积尺度相关的参数，并推导出薛定谔波泛函为 Clifford 代数取值的预规范波函数的连续乘积。

ABSTRACT

We address the issue of the relation between the canonical functional Schrödinger representation in quantum field theory and the approach of precanonical field quantization proposed by the author, which requires neither a distinguished time variable nor infinite-dimensional spaces of field configurations. We argue that the standard functional derivative Schrödinger equation can be derived from the precanonical Dirac-like covariant generalization of the Schrödinger equation under the formal limiting transition $γ^0\varkappa ightarrowδ(\mathbf{0})$, where the constant $\varkappa$ naturally appears within the precanonical quantization as the inverse of a small "elementary volume" of space. We obtain a formal explicit expression of the Schrödinger wave functional as a continuous product of the Dirac algebra valued precanonical wave functions, which are defined on the finite-dimensional covariant configuration space of the field variables and space-time variables.

研究动机与目标

• 澄清量子场论中预规范量子化与标准功能型薛定谔表示之间的关系。
• 通过识别过渡的充分条件，解决预规范波函数与功能波函数之间变换的不可积性问题。
• 证明标准薛定谔波泛函作为预规范形式在基本体积尺度 $1/\varkappa$ 趋于零时的奇异极限而出现。
• 统一 $\delta(\mathbf{0})$ 的相对论变换性质与预规范量子化映射，确保向正则形式过渡的一致性。

提出的方法

• 通过极限过渡 $\gamma^0\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$，从预规范狄拉克型方程 $i\hbar\varkappa\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi = \widehat{H}\Psi$ 推导出功能导数薛定谔方程。
• 引入变换 $U(y(\mathbf{x}))$，将预规范波函数映射到薛定谔波泛函，其变换条件 $\partial_{\mu}y^{a} = \partial H / \partial p^{\mu}_a$ 确保一致性。
• 使用逆量子化映射 $q^{-1}$ 将 Clifford 代数元素 $\frac{1}{\varkappa}\gamma_0$ 与微分形式 $d\mathbf{x}$ 关联，将预规范参数 $\varkappa$ 与经典无穷小体积联系起来。
• 将薛定谔波泛函构作为定义在有限维协变配置空间上的预规范波函数 $\Psi(y^a, x^\mu)$ 的连续乘积。
• 应用多辛结构与格伦斯坦哈伯代数框架，确保预规范形式中泊松括号与量子化的相容性。
• 证明条件 $\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$ 将 $\delta(\mathbf{0})$ 的相对论行为与逆量子化映射 $q^{-1}$ 统一起来，解决了功能导数方程中先前存在的不一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在协变场量子化框架下，如何从预规范狄拉克型方程推导出标准功能型薛定谔方程？
• RQ2 参数 $\varkappa$ 在预规范到正则功能量子化过渡中的作用是什么？
• RQ3 为何波函数之间变换的功能导数方程不可积？这一问题如何解决？
• RQ4 在预规范量子化背景下，极限 $\gamma^0\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$ 的精确数学与物理意义是什么？
• RQ5 条件 $\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$ 是否既是标准薛定谔波泛函从预规范波函数中出现的必要条件，也是充分条件？

主要发现

• 功能导数薛定谔方程作为预规范狄拉克型方程在极限 $\gamma^0\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$ 下的极限情形被推导出来，其中 $\varkappa$ 是基本体积尺度的倒数。
• 薛定谔波泛函被明确构造为定义在有限维协变配置空间上的 Clifford 代数取值预规范波函数的连续乘积。
• 将预规范波函数映射到功能波泛函的变换 $U(y(\mathbf{x}))$ 完全由条件 $\partial_{\mu}y^{a} = \partial H / \partial p^{\mu}_a$ 决定，解决了此前关于不可积性的问题。
• 条件 $\varkappa \to \delta(\mathbf{0})$ 将 $\delta(\mathbf{0})$ 的相对论变换性质与逆量子化映射 $q^{-1}$ 统一起来，确保与经典体积形式 $d\mathbf{x}$ 的一致性。
• 参数 $\varkappa$ 并非基本的紫外截断，而是一个在正则极限下趋于零的尺度参数；在自由场论中它消失，表明其并非物理长度尺度，而仅是实现过渡的数学工具。
• 假设 $\partial_{\mu}y^{a} = \partial H / \partial p^{\mu}_a$ 既充分也必要，以从预规范量子化中导出功能型薛定谔表示，如即将发表的工作所示。