[论文解读] Optimal moral-hazard-free reinsurance under extended distortion premium principles

Zhuo Jin, Zuo Quan Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2023

Insurance and Financial Risk ManagementEconomics, Econometrics and Finance被引用 3

一句话总结

本文在扩展的扭曲保费原则下，构建了一种无道德风险的最优再保险合同，其中扭曲函数无需为凹函数。通过双障碍问题建立了解的存在性，并对最优再保险进行表征，推导出在三个示例中可得（半）闭式解的条件，确保在扩散风险模型下具有激励相容性及最小破产概率。

ABSTRACT

We study an optimal reinsurance problem under a diffusion risk model for an insurer who aims to minimize the probability of lifetime ruin. To rule out moral hazard issues, we only consider moral-hazard-free reinsurance contracts by imposing the incentive compatibility constraint on indemnity functions. The reinsurance premium is calculated under an extended distortion premium principle, in which the distortion function is not necessarily concave. We first show that an optimal reinsurance contract always exists and then derive two sufficient and necessary conditions to characterize it. Due to the presence of the incentive compatibility constraint and the nonconcavity of the distortion, the optimal contract is obtained as a solution to a double obstacle problem. At last, we apply the general result to study three examples and obtain the optimal contract in (semi)closed form.

研究动机与目标

• 通过在赔付函数上施加激励相容性，以解决再保险中的道德风险问题。
• 使用允许非凹扭曲函数的扩展扭曲保费原则来建模再保险保费。
• 在扩散风险模型下，最小化保险人的终身破产概率。
• 推导在这些约束下的最优再保险的必要与充分条件。
• 为特定示例提供显式（半）闭式解，以验证一般框架的有效性。

提出的方法

• 对赔付函数施加激励相容性（IC）约束，以消除道德风险，要求对所有 z ≥ z′ ≥ 0，有 0 ≤ I(z) − I(z′) ≤ z − z′。
• 采用具有非凹扭曲函数 g 和加载因子 θ₀ ≥ 0 的扩展扭曲保费原则，推广了标准原则。
• 将保险人的风险过程建模为扩散过程，并将优化问题表述为最小化终身破产概率。
• 通过双障碍问题表征最优保留函数 H*(z) = z − I*(z)，导出最优隐式微分方程（OIDE）。
• 应用富比尼定理与变分分析，推导出涉及符号测度 Φ 的必要与充分最优性条件。
• 通过基于阈值的结构求解 OIDE：H*(z) = min{d, z}，其中 d 由生存函数与扭曲函数的条件确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 当保费通过扩展扭曲原则计算时，最优无道德风险再保险合同在何种条件下存在？
• RQ2 当扭曲函数为非凹且强制实施 IC 约束时，最优再保险合同如何表征？
• RQ3 在双障碍问题框架下，最优保留函数 H*(z) 的结构是什么？
• RQ4 扭曲函数的参数与加载因子如何影响最优再保险设计？
• RQ5 能否为特定示例推导出最优合同的（半）闭式解？其结果形式为何？

主要发现

• 在扩展扭曲保费原则与 IC 约束下，最优无道德风险再保险合同始终存在。
• 最优保留函数 H*(z) 由双障碍问题表征，导出最优隐式微分方程（OIDE）。
• 最优 H*(z) 采用阈值形式：H*(z) = min{d, z}，其中 d 由价值函数导数在阈值处为零的条件确定。
• 对于幂函数扭曲函数 g(p) = p^{1/ρ} 的示例，最优合同以半闭式形式推导得出，其中 d 满足涉及生存函数与参数的特定方程。
• 最优合同确保当 Φ(z) < 0 时，保险人保留损失的导数 H*(z) 为 1；当 Φ(z) > 0 时为 0；当 Φ(z) = 0 时在 [0,1] 范围内，从而确认了 OIDE 结构。
• 价值函数 v(a*) 表达为涉及最优保留函数与扭曲函数的积分，为最小破产概率提供了闭式表达。