[论文解读] Orlov and Viterbo functors in partially wrapped Fukaya categories

Zachary Sylvan|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 31被引用 13

一句话总结

本文建立了部分 wrapped Fukaya 范畴中 Orlov 赋函子球形性的几何准则，表明其为球形当且仅当该停止点可交换——即存在一条从其正 Reeb 推移至负 Reeb 推移的接触同伦，且不经过原始停止点。此外，本文证明了 Weinstein 域之间的 Viterbo 转移函子是同调上的一般满射，意味着其在传递至模范畴后成为局部化，将 Ganatra-Pardon-Shende 的结果推广至非 Weinstein 链接在停止点移除的情形。

ABSTRACT

We study two functors between (partially) wrapped Fukaya categories. The first is the Orlov functor from the Fukaya category of a stop to the Fukaya category of the ambient sector. We give a geometric criterion for when this functor is spherical in the sense of Anno-Logvinenko. This criterion is a generalization of the situation where the stop comes from a Landau-Ginzburg model. The second functor is the Viterbo transfer map from a Liouville domain to a subdomain. We show that when the domain and subdomain are independently Weinstein, this functor is a homological epimorphism, which means that it becomes a localization after passing to module categories. This should be compared with a result of Ganatra-Pardon-Shende, which states that the Viterbo map is a genuine localization when the cobordism is Weinstein.

研究动机与目标

• 确定从停止点到其所在区域的 Orlov 赋函子在 Anno–Logvinenko 意义下为球形的几何条件。
• 通过新的几何准则，将 Landau–Ginzburg 模型中已知的 Orlov 赋函子球形性推广至任意停止点。
• 证明 Weinstein 域之间的 Viterbo 转移函子是同调上的一般满射，意味着其在模范畴中成为局部化。
• 阐明 Viterbo 转移映射与 Orlov 赋函子构造之间的关系，验证在停止点移除下两者等价。
• 探讨可交换性与球形函子之间的代数与辛几何类比，表明不可交换的球形函子极为罕见。

提出的方法

• 引入可交换停止点的概念：即存在一条从其正 Reeb 推移至负 Reeb 推移的接触同伦，且不经过原始停止点。
• 通过沿 Reeb 流和交换同伦的同伦定义自同构——'单变量' Mφ 与 '一次缠绕' Wφ，证明其与交换同伦的选择无关。
• 利用粘合范畴的半正交分解来解释 Orlov 赋函子的像，并通过粘合双模验证其球形结构。
• 通过证明其在传递至模范畴后成为局部化，证明 Viterbo 转移函子是同调上的一般满射。
• 应用 Moser 引理与接触同伦扩张定理，将接触微分同胚与辛微分同胚关联，建立同伦与辛形变之间的等价性。
• 利用 '正向' 自同构（A-正向性与 B-正向性）的概念，通过粘合范畴的半正交分解验证交换自同构 Sφ 的球形结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 从停止点到其所在区域的 Orlov 赋函子在何种几何条件下为球形？
• RQ2 停止点的可交换性如何与 Fukaya 范畴中单变量与一次缠绕自同构的存在性相关？
• RQ3 Weinstein 域之间的 Viterbo 转移函子是否为同调上的一般满射？这在其模范畴中的行为意味着什么？
• RQ4 Viterbo 转移映射能否通过 Orlov 赋函子一致定义？与早期构造相比有何异同？
• RQ5 可交换性的代数对应物是什么？其与辛几何中球形函子的关系如何？

主要发现

• Orlov 赋函子为球形当且仅当停止点可交换，为球形性提供了超越 Landau–Ginzburg 模型的几何刻画。
• 单变量自同构 Mφ 同构于移位对偶扭变 M′[−2]，一次缠绕自同构 Wφ 同构于对偶扭变 W′，二者均与交换同伦的选择无关。
• Weinstein 域之间的 Viterbo 转移函子是同调上的一般满射，意味着其在传递至模范畴后成为局部化。
• 由交换同伦诱导的自同构 Sφ 为球形交换，其 A-正向性与 B-正向性通过粘合范畴的半正交分解得以验证。
• 在停止点移除成立时，通过 Orlov 赋函子构造的 Viterbo 映射与原始定义等价，而所有 Weinstein 域均满足此条件。
• Mφ 与 Wφ 对同伦 φ 的独立性意味着：任何保持停止点集合不变的对称微分同胚均与这些自同构可交换。