[论文解读] Pathwise Itô Calculus for Rough Paths and Rough PDEs with Path Dependent Coefficients

Christian Keller, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文为具有路径相关系数的粗糙路径发展了路径式伊藤微积分，将杜普雷的功能性伊藤微积分扩展至控制粗糙路径。在最小正则性条件下建立了粗糙随机微分方程与粗糙PDE的适定性，实现了对具有随机系数的随机PDE的路径式解，且无需依赖例外零测集。

ABSTRACT

This paper introduces the path derivatives, in the spirit of Dupire's functional Itô calculus, for the controlled paths in the rough path theory with possibly non-geometric rough paths. The theory allows us to deal with rough integration and rough PDEs in the same manner as standard stochastic calculus. We next study rough PDEs with coefficients depending on the rough path itself, which corresponds to stochastic PDEs with random coefficients. Such coefficients is less regular in the time variable and is not covered in the existing literature. The results are useful for studying viscosity solutions of stochastic PDEs.

研究动机与目标

• 将功能性伊藤微积分扩展至粗糙路径框架，尤其针对非几何与路径依赖系数。
• 解决由布朗运动等随机过程引起的系数在时间上缺乏正则性的问题，这些系数并非 Hölder-$(1-α)$ 连续。
• 在最小 Hölder 正则性条件下，建立依赖于整个路径的系数的粗糙随机微分方程（RDE）的适定性。
• 为具有随机系数的随机PDE建立路径式解理论，避免依赖于概率零测集。
• 通过路径导数将伊藤-文策尔公式与链式法则推广至粗糙路径设定，实现对粗糙PDE的分析。

提出的方法

• 为控制粗糙路径引入路径导数，其中一阶空间导数与古宾内利的导数一致，时间导数则源于二阶泰勒展开。
• 定义一种类似二次变差的括号过程，其在半鞅理论中扮演二次变差的角色。
• 应用路径式伊藤-文策尔公式作为路径导数的链式法则，实现对粗糙PDE的变换。
• 对漂移项 $ f(t,\theta_t)d\langle\boldsymbol{\omega}\rangle_t $ 使用杨积分，替代勒贝格积分，以处理非马氏系数。
• 从粗糙路径 $ \omega $ 构造二阶过程 $ \underline{\omega} $，实现在无概率条件下的路径式随机积分。
• 对于线性RDE，采用基于里卡蒂型RDE的解耦策略，推导出半显式解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以路径方式将功能性伊藤微积分扩展至具有路径依赖系数的控制粗糙路径？
• RQ2 在系数依赖于整个路径时，何种正则性条件可确保粗糙随机微分方程的适定性？
• RQ3 能否在不依赖于概率零测集的前提下，构造具有随机系数的随机PDE的路径式解？
• RQ4 路径式伊藤-文策尔公式在粗糙路径的路径导数语境下，如何与链式法则关联？
• RQ5 括号过程 $ \langle\boldsymbol{\omega}\rangle $ 在实现路径依赖系数的粗糙路径伊藤微积分类比中起到何种作用？

主要发现

• 路径式伊藤-文策尔公式与所提出的路径导数的链式法则等价，可实现对粗糙PDE的变换。
• 在最小正则性条件下建立了RDE的适定性：$ g(\cdot,x), f(\cdot,x), \partial_\omega g(\cdot,x) $ 均为 Hölder-$ \beta $ 连续，其中 $ \beta \in (1-2\alpha, \alpha] $，在布朗运动设定下，当 $ \alpha \in (1/3, 1/2) $ 时成立。
• 对于所有 $ \omega \in \Omega $，具有随机系数的SDE的路径式解存在，且在粗糙路径拓扑下连续，无需例外零测集。
• 通过基于里卡蒂型RDE的解耦策略，为线性RDE推导出半显式解，即使在多维情形下也成立。
• 在光滑性假设下，随机PDE的解 $ u(\omega, \cdot) $ 与变换变量下确定性PDE的解 $ v(\omega, \cdot) $ 等价。
• 变换 $ v(t,\omega,x) = \psi(t,\omega,x,u(t,\theta^{\omega,x}_t)) $ 将路径依赖的SPDE约化为标准PDE，其时间导数为 $ \partial_t v = \widehat{f}(t,\omega,x,v,\partial_x v, \partial_{xx}^2 v) $。