[论文解读] Rapoport-Zink Spaces For Local P-Shtukas and Their Local Models

Esmail Arasteh Rad|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文为函数域上局部 𝔓-shtukas 关联的 Rapoport-Zink 空间建立了局部模型，完成了关于全局 𝔈-shtukas 的局部模型理论的局部类比。它证明了局部模型定理，该定理提供了平坦性的判别准则，并可应用于 Kottwitz-Rapoport 分层、弗罗贝尼乌斯的半单迹以及在一般纤维上的同调循环构造，使该纤维的上同调成为有限维查沃环上的模。

ABSTRACT

In this article we first survey the analogy between Shimura varieties (resp. Rapoport-Zink spaces) and moduli stacks for global G-shtukas (resp. Rapooprt Zink spaces for local P-shtukas). This part is intended to enrich the dictionary between the arithmetic of number fields and function fields a bit further. Furthermore, to complete this picture, we also study some local properties of Rapoport-Zink spaces for local P-shtukas by constructing local models for them. This provides a "local" complementary to a previous work of the author, which was devoted to the study of the local models for the moduli stacks of global G-shtukas. We also discuss some of its applications.

研究动机与目标

• 通过为局部 𝔓-shtukas 发展局部理论，完成数域上典型域面与函数域上全局 𝔈-shtukas 模空间之间的类比。
• 为局部 𝔓-shtukas 的 Rapoport-Zink 空间构建局部模型，与先前工作中建立的全局 𝔈-shtukas 局部模型理论相呼应。
• 提供一个局部几何框架，以阐明这些 Rapoport-Zink 空间在其反射环上的奇点与平坦性性质。
• 将局部模型理论应用于推导全局结论，例如在特殊纤维与一般纤维上的分层与同调不变量。
• 通过循环映射，使这些空间一般纤维的上同调成为其特殊纤维查沃环上的模。

提出的方法

• 在 𝔓 是 𝔻 = 𝔽_q[[z]] 上光滑仿射群概形且其一般纤维为连通的半单代数群的通用设定下，为局部 𝔓-shtukas 的 Rapoport-Zink 空间构造局部模型。
• 应用局部模型定理（定理 3.12），建立从局部模型到反射环的平坦态射，通过修改朴素模型来确保平坦性。
• 利用局部模型图，定义有界性条件的特殊纤维与 Rapoport-Zink 空间一般纤维之间的对应关系。
• 在对分而代数群的施伯特簇的 Demazure 分解上应用 Leray 谱序列与分解定理，以分析特殊纤维的上同调。
• 应用动机分解定理与 Leray-Hirsch 定理，证明光滑施伯特簇的动机是混合塔动机，从而推出有限维查沃群。
• 将循环类映射与循环的上推复合，为一般纤维的紧上同调构造其在特殊纤维查沃环上的模结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数域设定下，如何为局部 𝔓-shtukas 的 Rapoport-Zink 空间构造类比于数域情形的局部模型？
• RQ2 局部模型定理对这些 Rapoport-Zink 空间的平坦性与奇点有何影响？
• RQ3 局部模型理论如何用于在特殊纤维上定义分层，如 Kottwitz-Rapoport 分层？
• RQ4 局部模型理论在何种方式下促进对这些空间上同调中弗罗贝尼乌斯半单迹的计算？
• RQ5 是否能通过循环映射使一般纤维的上同调成为特殊纤维查沃环上的模？

主要发现

• 局部模型定理（定理 3.12）建立了从真实局部模型 M_loc 到反射环的平坦态射，解决了朴素模型 M_naive 中存在的平坦性问题。
• 局部模型的构造为局部 𝔓-shtukas 的 Rapoport-Zink 空间在其反射环上的平坦性提供了判别准则。
• 通过局部模型图，Rapoport-Zink 空间特殊纤维上的 Kottwitz-Rapoport 分层得以构造。
• 一般纤维上同调的半单弗罗贝尼乌斯迹与扭的仿射旗簇中的施伯特簇上的迹相关联，从而实现同调计算。
• 当特殊纤维 Z 为不可约且光滑时，一般纤维的紧上同调在查沃环 Ch*(Z) 上具有模结构。
• 当特殊纤维 Z 为光滑且不可约时，动机 M(Z) 是混合塔动机的直和项，从而推出对所有 i，Ch^i(Z) 均为有限维。