[论文解读] Regularization of singular Sturm-Liouville equations

Andrii Goriunov, Vladimir Mikhailets|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2010

Spectral Theory in Mathematical PhysicsMathematics参考文献 7被引用 19

一句话总结

本文提出了一类奇异Sturm-Liouville算子的新型正则化方法，其系数满足 $ q = Q' $，$ 1/p, Q/p, Q^2/p \in L_1 $，通过Shin-Zettl拟导数定义了适定的最大与最小算子。关键贡献在于，通过规范边界条件，完全刻画了所有自伴及最大耗散扩张及其广义预解算子，相较于经典或基于 $ L_2 $ 的框架，其假设条件更弱。

ABSTRACT

Paper deals with the singular Sturm-Liouville expressions $$l(y) = -(py')' + qy$$ on a finite interval with coefficients $$q = Q', \quad 1/p, Q/p, Q^2/p \in L_1,$$ where derivative of the function $Q$ is understood in the sense of distributions. Due to a new regularization corresponding operators are correctly defined as quasi-differential. Their resolvent approximation is investigated and all self-adjoint and maximal dissipative extensions and generalized resolvents are described in terms of homogeneous boundary conditions of the canonic form. Some results are new for the case $p(t)\equiv 1$ as well.

研究动机与目标

• 在远弱于经典或 $ L_2 $-基础假设的系数条件下，定义并严格构造Sturm-Liouville算子。
• 将拟微分算子理论扩展至奇异情形，其中 $ q = Q' $，$ Q/p, Q^2/p \in L_1 $，且 $ Q' $ 以分布意义理解。
• 利用边界三元组理论，对最小算子的所有自伴与最大耗散扩张提供完全参数化描述。
• 通过更规则系数算子的预解算子逼近所构造算子的预解算子，改进先前结果。

提出的方法

• 通过拟导数 $ D^{[0]}y = y $，$ D^{[1]}y = py' - Qy $，$ D^{[2]}y = (D^{[1]}y)' + \frac{Q}{p}D^{[1]}y + \frac{Q^2}{p}y $ 对Sturm-Liouville表达式 $ l(y) = -(py')' + qy $ 进行新型正则化，使得 $ l[y] = -D^{[2]}y $。
• 将最大算子 $ L_{\text{max}} $ 定义为 $ L_2 $ 上的拟微分算子，其定义域为 $ \{ y \in L_2 \mid y, D^{[1]}y \in AC, D^{[2]}y \in L_2 \} $。
• 将最小算子 $ L_{\text{min}} $ 定义为 $ L_{\text{max}} $ 的限制，且满足齐次边界条件 $ D^{[k]}y(a) = D^{[k]}y(b) = 0 $（$ k = 0,1 $）。
• 利用边界三元组理论，通过 $ \mathbb{C}^2 $ 上的算子 $ K $ 参数化所有自伴与最大耗散扩张，其中耗散扩张对应 $ K $ 为压缩算子。
• 通过证明所构造算子的预解算子可在范数意义下被更规则系数算子的预解算子逼近，建立预解逼近。
• 通过含 $ (K(\lambda) - I)\Gamma_1 y + i(K(\lambda) + I)\Gamma_2 y = 0 $ 的边值问题推导广义预解算子，其中 $ K(\lambda) $ 为解析函数，且在下半平面满足 $ \|K(\lambda)\| \leq 1 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当势函数 $ q $ 为分布导数 $ Q' $，且 $ Q/p, Q^2/p \in L_1 $ 时，如何严格定义奇异Sturm-Liouville算子？
• RQ2 在广义系数条件 $ q = Q' $，$ 1/p, Q/p, Q^2/p \in L_1 $ 下，最大与最小算子的结构为何？
• RQ3 如何通过边界条件参数化最小算子的所有自伴扩张？
• RQ4 最小对称算子的所有最大耗散扩张及广义预解算子的刻画为何？
• RQ5 所构造算子的预解算子能否被更规则系数算子的预解算子逼近？

主要发现

• 所提出的拟导数正则化方法在广义系数条件 $ q = Q' $，$ 1/p, Q/p, Q^2/p \in L_1 $ 下唯一定义了Sturm-Liouville算子，其中 $ Q' $ 以分布意义理解。
• 通过该正则化方法定义的最大与最小算子，在 $ L_1 $ 条件下与经典定义一致，在 $ Q $ 属于 $ L_2 $ 条件下与文献[5]中的结果一致。
• 最小算子的所有自伴扩张与 $ \mathbb{C}^2 $ 上的自伴算子 $ K $ 之间存在一一连续对应关系，其由规范齐次边界条件描述。
• 所有最大耗散扩张与 $ \mathbb{C}^2 $ 上的压缩算子 $ K $ 之间存在一一对应关系；当且仅当 $ K $ 为块对角矩阵且满足 $ |K_a| \leq 1 $，$ |K_b| \leq 1 $ 时，边界条件为分离型。
• 所构造算子的预解算子可在范数意义下被更规则系数算子的预解算子逼近，扩展并改进了先前的逼近结果。
• 广义预解算子完全由一个含解析算子值函数 $ K(\lambda) $ 的边值问题刻画，其定义于 $ \mathbb{C}^- $ 且满足 $ \|K(\lambda)\| \leq 1 $，并由此与广义谱函数建立一一对应关系。