[论文解读] Residual equilibrium schemes for time dependent partial differential equations

Lorenzo Pareschi, Thomas Rey|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Computational Fluid Dynamics and AerodynamicsEngineering参考文献 38被引用 19

一句话总结

该论文提出了一类用于时间依赖PDE的残差平衡格式，可在保持高阶精度的同时精确保持稳态解。通过基于平衡的修正和通量限制器对数值通量进行修改，该方法确保了对对流-扩散方程、双曲平衡律及动力学方程的守恒性，同时在不损失精度的前提下维持稳定性和单调性。

ABSTRACT

Many applications involve partial differential equations which admits nontrivial steady state solutions. The design of schemes which are able to describe correctly these equilibrium states may be challenging for numerical methods, in particular for high order ones. In this paper, inspired by micro-macro decomposition methods for kinetic equations, we present a class of schemes which are capable to preserve the steady state solution and achieve high order accuracy for a class of time dependent partial differential equations including nonlinear diffusion equations and kinetic equations. Extension to systems of conservation laws with source terms are also discussed.

研究动机与目标

• 开发能够保持时间依赖PDE中非平凡稳态解的数值格式，尤其在标准方法因源项平衡问题而失效时仍有效。
• 将微宏分解技术从动力学方程推广至更广泛的PDE类，包括非线性扩散方程和双曲平衡律方程。
• 在存在源项的情况下，实现高阶精度，同时保持良好的平衡性与TVD（总变差递减）特性。
• 提供一种结构简单、适用范围广的框架，避免为稳态保持而进行特定问题的通量构造。

提出的方法

• 该方法引入一种残差分配策略，通过从稳态解中导出的平衡通量对数值通量进行修正。
• 引入一个依赖于平衡指标 r = ΔUⁿᵢ / ΔUᵉᑫᵢ 的通量限制函数 φ(r)，以控制修正过程并保持单调性。
• 格式表述为 ∂uᵢ/∂t = −(𝒰ᵢ₊₁/₂ − 𝒰ᵢ₋₁/₂)/Δx + (uᵢ − uᵢᵉᑫ)，其中 𝒰ᵢ±₁/₂ = Uᵘᵐᵢ±₁/₂ − φᵢUᵉᑫᵢ±₁/₂，确保稳态解的保持。
• 对于线性问题，通过变换 uᵢ → uᵢ − uᵢᵉᑫ 可使残差格式等价于原格式，从而保持其性质。
• 对于非线性格式，通量限制函数 φ(r) 的设计满足 0 ≤ φ(r)/r ≤ 1，确保在适当时间步长条件下具有TVD稳定性。
• 该方法在对流-扩散方程、含源项的双曲系统以及动力学方程上进行了验证，数值结果证实了其精度与良好的平衡行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种通用框架，在无需针对具体问题设计通量的情况下，保持时间依赖PDE中的稳态解？
• RQ2 在含源项的非线性PDE中，如何在良好平衡格式中保持高阶精度？
• RQ3 何种通量限制策略可同时确保非线性格式中的稳态保持与TVD（总变差递减）稳定性？
• RQ4 微宏分解技术在多大程度上可从动力学方程推广至其他PDE类别？

主要发现

• 残差平衡格式在对流-扩散方程中精确保持了稳态解 uᵉᑫ(𝑥)，如半离散形式 ∂uᵢ/∂t = −(𝒰ᵢ₊₁/₂ − 𝒰ᵢ₋₁/₂)/Δx + (uᵢ − uᵢᵉᑫ) 所示。
• 对于线性对流-扩散问题，当 uᵉᑫ(𝑥) = u_B exp(−𝑥/a) 时，只要应用了通量修正，无论网格分辨率或时间步长如何，该方法均能保持稳态。
• 当通量限制函数 φ(r) 定义为：当 r ≤ 1 时为 r^α，当 r > 1 时为 r^−α（其中 α > 1），且满足 0 ≤ φ(r)/r ≤ 1 时，可同时保证良好平衡性与TVD稳定性。
• 数值结果表明，即使在强源项和不连续初值条件下，该格式仍能保持高阶精度并避免虚假振荡。
• 该方法保持了原格式的TVD性质，如不等式 TV(uⁿ⁺¹) ≤ (1 − Δt)TV(uⁿ) + ΔtTV(uᵉᑫ) 所示，前提是 TV(uᵉᑫ) ≤ TV(uⁿ)。
• 该方法可扩展至含源项的守恒律系统及动力学方程，表明其在原型问题之外具有广泛适用性。