[论文解读] Reviving the Lieb-Schultz-Mattis Theorem in Open Quantum Systems

Yi-Neng Zhou, Xingyu Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2023

Quantum many-body systemsPhysics and Astronomy参考文献 57被引用 3

一句话总结

本文通過展示在系統保持自旋旋轉與平移對稱性且具有短程關聯時，耦合至 bath 的半整數自旋鏈的糾纏譜不可能存在非簡併、能隙的基態，從而提出了開放量子系統中 Lieb-Schultz-Mattis (LSM) 定理的復興。關鍵結果是糾纏哈密頓量必須是無能隙的或具有簡併基態，從而透過糾纏譜將原始 LSM 定理的拓撲約束擴展至開放系統。

ABSTRACT

In closed systems, the celebrated Lieb-Schultz-Mattis (LSM) theorem states that a one-dimensional locally interacting half-integer spin chain with translation and spin rotation symmetry cannot have a non-degenerate gapped ground state. However, the applicability of this theorem is diminished when the system interacts with a bath and loses its energy conservation. In this letter, we propose that the LSM theorem can be revived in the entanglement Hamiltonian when the coupling to bath renders the system short-range correlated. Specifically, we argue that the entanglement spectrum cannot have a non-degenerate minimum, isolated by a gap from other states. We further support the results with numerical examples where a spin-$1/2$ system is coupled to another spin-$3/2$ chain serving as the bath. Compared with the original LSM theorem which primarily addresses UV--IR correspondence, our findings unveil that the UV data and topological constraints also have a pivotal role in shaping the entanglement in open quantum many-body systems.

研究动机与目标

• 將 Lieb-Schultz-Mattis (LSM) 定理擴展至因與 bath 耦合而失去能量守恆的開放量子系統。
• 識別糾纏譜作為在開放系統中制定 LSM 型定理時，物理哈密頓量 $\hat{H}$ 的能量譜之自然類比。
• 建立當系統因 bath 耦合而具有短程關聯時，原始 LSM 定理的拓撲約束仍保留在糾纏譜中的條件。
• 透過數值例子證明，耦合至自旋-3/2 bath 的自旋-1/2 鏈的糾纏譜表現出簡併或無能隙特性，與所提出的開放系統 LSM 定理一致。

提出的方法

• 提出糾纏哈密頓量 $\hat{K}$，定義為 $\rho = e^{-\hat{K}}$，作為原始 LSM 定理中物理哈密頓量 $\hat{H}$ 在開放系統中的類比。
• 識別 LSM 定理可被復興的兩個關鍵條件：(1) SO(3) 自旋旋轉對稱性與半整數自旋表示，以及 (2) 系統密度矩陣 $\rho$ 中的短程關聯，暗示有限關聯長度 $\xi$。
• 使用扭轉算符 $\hat{U}^{\text{twist}} = e^{i\frac{2\pi}{L}\sum_j j \hat{S}^z_j}$ 探測糾纏譜，利用其在每單位細胞含半整數自旋時與平移算符的反對易性。
• 應用 $-\ln x$ 的凸性，推導糾纏譜能隙 $\Delta\lambda$ 的界，顯示 $\Delta\lambda \leq -\ln\langle\rho\rangle_{\text{twist}} - \langle\hat{K}\rangle_0 \leq \langle\hat{K}\rangle_{\text{twist}} - \langle\hat{K}\rangle_0$，支持在熱力學極限下能隙關閉。
• 對兩個模型執行數值 DMRG 計算：一個耦合至自旋-3/2 bath 的自旋-1/2 鏈，以及一個與 bath 有異向耦合的 Majumdar–Ghosh 鏈，以驗證理論預測。
• 分析兩個模型中的糾纏譜，並顯示基態為簡併或無能隙，確認所提出的開放系統 LSM 定理。

Figure 1: Comparing the LSM theorem in closed and open systems. (a) In closed systems, we consider the physical Hamiltonian $\hat{H}$ and the energy spectrum $E$ . (b) In open systems, we consider the entanglement Hamiltonian $\hat{K}$ and the entanglement spectrum $\lambda$ . These two spectra exhi

实验结果

研究问题

• RQ1 能否將 Lieb-Schultz-Mattis 定理擴展至因與 bath 耦合而破壞能量守恆的開放量子系統？
• RQ2 在開放系統中，LSM 定理的能源譜由何取代？拓撲約束是否仍可適用？
• RQ3 在對稱性與關聯結構方面，具體在何種條件下，LSM 定理可在糾纏譜中被復興？
• RQ4 具有全局對稱性的短程關聯半整數自旋鏈的糾纏哈密頓量，其低能譜是否必然表現出簡併或無能隙特性？
• RQ5 紫外尺度對稱性與拓撲約束如何在開放多體系統的糾纏譜中體現？

主要发现

• 當 SO(3) 自旋旋轉對稱性與平移對稱性被保持時，耦合至 bath 的半整數自旋鏈的糾纏譜不可能存在非簡併、能隙的基態。
• 糾纏哈密頓量 $\hat{K}$ 必須是無能隙的或具有簡併基態，從而將原始 LSM 定理的拓撲約束擴展至開放系統。
• 糾纏譜能隙 $\Delta\lambda$ 的有限尺寸標度支持其在熱力學極限 $L \to \infty$ 下消失，表明無限系統中譜為無能隙或簡併。
• 對於耦合至自旋-3/2 bath 的自旋-1/2 鏈，數值結果顯示糾纏譜表現出簡併或無能隙特性，與所提出的定理一致。
• 在 Majumdar–Ghosh 模型耦合至自旋-3/2 bath 時，物理能量譜與糾纏譜均顯示雙重簡併基態，表明與 LSM 型約束一致的自發對稱性破缺。
• 結果表明，先前與封閉系統中能量譜相關的紫外尺度對稱性與拓撲約束，同樣主導開放量子多體系統中糾纏譜的結構。

Figure 2: (a) The tripartition $A$ , $B$ and $C$ of the spin chain as used in the proof. (b) Schematic of the model used in our numerical example. The upper chain with spin- $1/2$ denotes the system and the lower chain with spin- $3/2$ denotes the bath. They are coupled and the entire system respect