[论文解读] Smooth Fock bundles, and spinor bundles on loop space

Peter Kristel, Konrad Waldorf|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文提出了一套严格的框架，利用 rigged Hilbert 空间和 Fréchet 结构在环路空间上构造光滑的 Fock 纤维丛，从而实现 Clifford 代数及其实现群的光滑作用。核心贡献是实现了对环路空间上旋量丛的完整、光滑构造，并通过拉格朗日子空间格拉斯曼丛的 gerbe 与旋量提升 gerbe 之间的典范同构，建立了其与环路旋量结构的等价性。

ABSTRACT

We address the construction of smooth bundles of fermionic Fock spaces, a problem that appears frequently in fermionic gauge theories. Our main motivation is the spinor bundle on the free loop space of a string manifold, a structure anticipated by Killingback, with a construction outlined by Stolz-Teichner. We develop a general framework for constructing smooth Fock bundles, and obtain as an application a complete and well-founded construction of spinor bundles on loop space.

研究动机与目标

• 解决在拉格朗日子空间无法连续选取的参数空间上构造费米子 Fock 空间丛的挑战。
• 通过将 Stolz-Teichner 和 Ambler 的工作推广并完善，将连续的 Fock 纤维丛升级为具有 Fréchet 结构的光滑、rigged 版本。
• 在弦流形上的环路旋量结构与自由环路空间上光滑旋量丛之间建立典范对应关系。
• 为受限正交群及其在 rigged Fock 空间上的实现者提供严格的表示论基础。
• 证明光滑 Fock 纤维丛的障碍可由一个与旋量提升 gerbe 同构的纤维丛 gerbe 捕获，其平凡化对应于环路旋量结构。

提出的方法

• 通过在 Fock 空间上赋予一个稠密的 Fréchet 子空间，引入 rigged Hilbert 空间丛，以支持光滑结构。
• 构造一个 Fréchet 子代数 $\operatorname{Cl}(V)^\infty \subset \operatorname{Cl}(V)$，以确保 Bogoliubov 自同构和 Clifford 乘法的光滑性。
• 将依赖于极化的选择的 Fock 纤维丛 $\mathcal{F}^\infty(\mathcal{H})^{\mathrm{pol}}$ 定义为环路空间 $LM$ 上的一个光滑、扭曲向量丛。
• 通过框架丛构造，建立拉格朗日子空间格拉斯曼丛 gerbe $\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$ 与旋量提升 gerbe $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$ 之间的典范同构。
• 利用 rigged 结构证明 Clifford 纤维丛 $\pi^*\operatorname{Cl}^\infty(L\operatorname{Spin}(E))$ 在 Fock 纤维丛上的作用是光滑的，并且与实现性条件相容。
• 借助 $\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$ 与 $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$ 之间的同构，证明 gerbe 的平凡化可导出光滑 Fock 纤维丛，即 $LM$ 上的旋量丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当拉格朗日子空间无法连续变化时，如何在环路空间上构造光滑 Fock 纤维丛？
• RQ2 在无限维情形下，支持规范场论中光滑群作用的光滑希尔伯特丛的正确推广是什么？
• RQ3 弦流形上的环路旋量结构与自由环路空间上光滑旋量丛的存在性之间有何关系？
• RQ4 光滑 Fock 纤维丛的障碍是否可由一个纤维丛 gerbe 捕获？如果是，它与已知几何结构有何关联？
• RQ5 rigged Hilbert 空间与 Fréchet 子代数在实现 Clifford 代数及其实现者的光滑表示中起到什么作用？

主要发现

• Fock 空间 $\mathcal{F}_L$ 具有一个稠密的 Fréchet 子空间 $\mathcal{F}_L^\infty$，使得实现者群 $\operatorname{Imp}_L(V)$ 在 $\mathcal{F}_L^\infty$ 上的作用是光滑的。
• 存在一个 Fréchet 子代数 $\operatorname{Cl}(V)^\infty \subset \operatorname{Cl}(V)$，使得 $\operatorname{O}_L(V)$ 的 Bogoliubov 自同构在其上作用光滑。
• Clifford 乘法限制为一个光滑作用 $\operatorname{Cl}(V)^\infty \times \mathcal{F}_L^\infty \to \mathcal{F}_L^\infty$，确保与光滑结构相容。
• 依赖于极化的 Fock 纤维丛 $\mathcal{F}^\infty(\mathcal{H})^{\mathrm{pol}}$ 是一个 $\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$-扭曲向量丛，且 $\mathscr{G}_{\mathcal{H}}$ 同构于旋量提升 gerbe $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$。
• gerbe $\mathscr{L}_{L\operatorname{Spin}(E)}$ 的平凡化恰好对应于 $E$ 上的一个环路旋量结构，并诱导出 $LM$ 上的光滑 Fock 纤维丛。
• 自由环路空间 $LM$ 上的偶与奇环路旋量丛被构造为光滑、扭曲的 Fock 纤维丛，其中偶丛 $\mathbb{S}^\infty_{\text{even}}(\widetilde{L\operatorname{Spin}}(E))$ 与一个环路旋量结构典范关联。