[论文解读] String Connections and Chern-Simons Theory

Konrad Waldorf|arXiv (Cornell University)|May 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文通过规范丛2-gerbe的平凡化，提出了一种有限维、光滑的旋量丛上弦结构的表述方式，从而实现了对弦联络的新处理。证明了每个弦结构均存在弦联络，且这些联络构成一个仿射空间，并建立了弦联络、基流形上的3-形式以及三度微分上同调之间的直接联系。

ABSTRACT

We present a finite-dimensional and smooth formulation of string structures on spin bundles. It uses trivializations of the Chern-Simons 2-gerbe associated to this bundle. Our formulation is particularly suitable to deal with string connections: it enables us to prove that every string structure admits a string connection and that the possible choices form an affine space. Further we discover a new relation between string connections, 3-forms on the base manifold, and degree three differential cohomology. We also discuss in detail the relation between our formulation of string connections and the original version of Stolz and Teichner.

研究动机与目标

• 通过旋量丛相关的Chern-Simons丛2-gerbe的平凡化，提供一种有限维、光滑的弦结构表述。
• 通过丛2-gerbe上的联络定义弦联络，从而建立一种几何且可计算的框架。
• 为任意给定的旋量丛上的弦结构及其联络，建立弦联络的存在性与分类。
• 揭示弦联络、基流形上的3-形式以及三度微分上同调之间的新关系。
• 将三度上同调对弦结构的作用推广至带有联络的微分上同调设定。

提出的方法

• 将弦结构形式化为与旋量丛相关的Chern-Simons丛2-gerbe的平凡化。
• 通过一、二阶微分形式，将弦联络定义为这些平凡化丛2-gerbe上的联络。
• 利用丛2-gerbe上联络的理论，构造并分类与平凡化相容的联络。
• 应用关于2-群胚作用、拉回以及作用良定义性的技术引理，证明存在性与传递性。
• 建立弦联络与基流形上闭3-形式之间的对应关系，其拉回形式与Chern-Simons 3-形式之差为具有整周期的闭3-形式。
• 借助Chern-Simons 2-gerbe对障碍类的几何实现，保持有限维性与光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用无穷维李2-群的情形下，于有限维光滑范畴中表述弦结构？
• RQ2 如何通过丛2-gerbe及其联络，内在地定义弦联络？
• RQ3 弦联络与基流形上3-形式之间存在何种关系？
• RQ4 在固定弦结构与联络下，弦联络的集合如何分类？
• RQ5 三度微分上同调如何作用于带有联络的几何弦结构？

主要发现

• 几何弦结构构成一个2-范畴，其同构类的集合由基流形的三度微分上同调参数化。
• 每个弦结构均存在弦联络，且所有此类联络构成一个仿射空间。
• 每个弦联络确定一个基流形上的3-形式，其在旋量丛上的拉回形式与Chern-Simons 3-形式之差为具有整周期的闭3-形式。
• 三度微分上同调对几何弦结构的作用，将经典上同调对弦结构的作用推广至微分设定。
• 该表述提供了弦联络的有限维、光滑实现，避免了无穷维李2-群模型。
• 该构造揭示了3-形式在弦几何中更深层的几何角色，通过Chern-Simons 2-gerbe将其与弦联络的曲率联系起来。