[论文解读] The cohomology of the moduli space of abelian varieties

Gerard van der Geer|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 51被引用 6

一句话总结

本综述研究了主极化阿贝尔簇模空间的上同调，重点关注典型环、分层结构（包括Ekedahl-Oort分层）、微分形式，以及与Siegel模形式的联系。该研究提出了一种新方法，通过在有限域上计数曲线来计算Hecke特征值的迹，从而实现对亏格1、2和3模形式之间同余关系的数值验证，并预测了新的提升关系与算术关系。

ABSTRACT

This is a survey on various aspects of the cohomology of the moduli space of abelian varieties

研究动机与目标

• 探讨主极化阿贝尔簇模空间的上同调及其与算术和几何的联系。
• 分析此背景下典型环与Ekedahl-Oort分层的cycle类。
• 建立一个计算框架，将Hecke特征值迹与有限域上亏格≤3的曲线计数联系起来。
• 将已知的模形式之间同余关系扩展至更高亏格与更高水平结构，特别是针对亏格2和3的情形。
• 提出并检验关于局部系统上同调及其与Siegel模形式关系的猜想。

提出的方法

• 作者利用有限域上亏格g ≤ 3的曲线模空间，计算Siegel模形式空间上Hecke算子的迹。
• 他们应用了一个猜想性的比例原理，将局部系统在模空间上的Euler示性数与模堆栈的有理点数联系起来。
• 该方法依赖于在有限域F_q上对亏格1、2和3的曲线进行计数，以确定模空间A_g的上同调不变量。
• 对于亏格2和3，利用Torelli映射和堆栈结构，将M_g与A_g关联，从而通过曲线计数实现上同调计算。
• 该方法被扩展至A_2上的level 2结构，利用Sp(4,Z/2Z) ≅ S_6在具有六个Weierstrass点的曲线模空间上的作用。
• 通过计算得到的迹对理论预测进行数值验证，从而观察到不同亏格之间Hecke算子特征值的同余关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过有限域上的算术计数来计算主极化阿贝尔簇模空间的上同调？
• RQ2 A_g的典型环与Ekedahl-Oort分层的cycle类之间的确切关系是什么？
• RQ3 有限域上曲线计数得到的数值数据能否预测并验证不同权与亏格的Siegel模形式Hecke特征值之间的同余关系？
• RQ4 A_g上局部系统的上同调群如何与模空间的几何结构及模形式相关联？
• RQ5 Torelli映射在将上同调数据从M_g转移到A_g中起什么作用，特别是在亏格3时？

主要发现

• 对于亏格2，A_2[2]上局部系统V_{4,2}的上同调被计算为e_c = -45L^3 + 45 - S[Γ_2[2],(2,5)]，从而实现了Hecke算子迹的计算。
• 通过计数方法，数值验证了Siegel模形式在Γ_2[2]上权为(2,5)的Hecke特征值λ(23) = -323440。
• 对于亏格3，计算得到Euler示性数e_c(A_3, V_{10,4,0}) = -L^7 + L + S[6,8]，其中S[6,8]与亏格2情形一致。
• 上同调e_c(A_3, V_{8,4,4}) = -S[12]L^6 + S[12] + S[4,0,8]揭示了权为(4,0,8)的真正Siegel模形式的存在。
• 来自曲线计数的数值数据支持了从亏格1到亏格2以及从亏格1到亏格3模形式的提升关系的存在。
• 对p ≤ 37，数值验证了同余关系λ(p) ≡ p^8 + a(p) + p^13 (mod 41)，扩展了经典的同余关系如τ(p) ≡ p^11 + 1 (mod 691)。