[论文解读] The cone of type A, level one conformal blocks divisors

Noah Giansiracusa, Angela Gibney|arXiv (Cornell University)|May 16, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文证明了在模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上，类型 A、级别一的共形块除子张成一个位于 nef 锥内的有限生成且全维的子锥。该文表明这些除子诱导的态射其像为参数化平面上 Veronese 曲线极限上点构型的 GIT 商，为除子类之间的恒等式提供了几何与模形式解释，并通过扩展的 Torelli 映射将它们与双曲及循环三重覆盖的分支联系起来。

ABSTRACT

We prove that the type A, level one, conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$ span a finitely generated, full-dimensional subcone of the nef cone. Each such divisor induces a morphism from $\bar{M}_{0,n}$, and we identify its image as a GIT quotient parameterizing configurations of points supported on a flat limit of Veronese curves. We show how scaling GIT linearizations gives geometric meaning to certain identities among conformal blocks divisor classes. This also gives modular interpretations, in the form of GIT constructions, to the images of the hyperelliptic and cyclic trigonal loci in $\bar{M}_{g}$ under an extended Torelli map.

研究动机与目标

• 证明在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上类型 A、级别一的共形块除子锥是 nef 锥内的有限生成且全维子锥。
• 将由这些除子诱导的态射的几何像识别为参数化 Veronese 曲线平限（即拟 Veronese 曲线）上点构型的 GIT 商。
• 通过 GIT 线性化缩放，为共形块除子类之间的恒等式提供几何解释。
• 基于 GIT 构造，为扩展 Torelli 映射下双曲与循环三重覆盖分支在 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 中的像提供模形式、GIT 基的构造。

提出的方法

• 作者证明共形块除子锥由点在 Veronese 曲线上配置所生成的有限多个 GIT 锥张成。
• 他们应用 Thaddeus 和 Dolgachev-Hu 的变分技术，确立这些 GIT 锥的有限生成性。
• 诱导的态射被分解为一个遗忘映射、一个 Hassett 模空间映射，以及一个到 GIT 商 $V_{d,k}//_{\vec{c}}\operatorname{SL}_{d+1}$ 的双有理态射的复合。
• 利用权重 $w$、秩 $m$ 与次数 $d$ 之间的关系，通过映射 $\varphi_{d,(1,\ldots,1)}^*$ 参数化除子类。
• 利用共形块除子的对偶性（如 Gale 对偶）来关联不同除子类，并减少独立生成元的数量。
• 本文使用关于扩展 Torelli 映射及 Hodge 类 $\lambda$ 拉回的已知结果，将共形块除子与双曲及循环三重覆盖分支联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上，类型 A、级别一的共形块除子锥是否张成一个位于 nef 锥内的有限生成子锥？
• RQ2 由 $\mathcal{CB}(A,1)$ 中的共形块除子诱导的态射的几何像是什么？
• RQ3 GIT 线性化的缩放如何与共形块除子类之间的恒等式相关联？
• RQ4 双曲与循环三重覆盖分支在 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 中的像能否作为拟 Veronese 曲线上点构型的 GIT 商实现？
• RQ5 通过 GIT 构造，除子类 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_m}_{1,w}$ 的模形式解释是什么？

主要发现

• 由 $\mathcal{CB}(A,1)$ 张成的锥在 $\operatorname{N}^1(\overline{\mathcal{M}}_{0,n})$ 中是有限生成且全维的，解决了 MDS 猜想所预测的极端射可能无穷多的问题。
• 每个共形块除子诱导一个态射，该态射可分解为 Hassett 模空间的态射，并映射到一个 GIT 商 $V_{d,k}//_{\vec{c}}\operatorname{SL}_{d+1}$，该商参数化 $\mathbb{P}^d$ 中拟 Veronese 曲线上 $k$ 个点的 $k$-元组。
• 与 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_m}_{1,w}$ 关联的态射的像是 $V_{d,k}//_{\vec{c}}\operatorname{SL}_{d+1}$ 的正规化，其中 $d$ 由权重数据决定。
• 扩展 Torelli 映射下双曲分支 $\overline{\operatorname{H}}_g$ 的像的正规化同构于 $(V_{g,2g+2}//\operatorname{SL}_{g+1})/S_{2g+2}$ 的正规化，该商参数化 $\mathbb{P}^g$ 中拟 Veronese 曲线上 $2g+2$ 个无序点。
• 当 $g$ 满足 $3 \mid (g+2)$ 时，循环三重覆盖分支 $\overline{\operatorname{CT}}_g$ 的像的正规化同构于 $(V_{\frac{g+2}{3},g+2}//\operatorname{SL}_{\frac{g+5}{3}})/S_{g+2}$ 的正规化，该商参数化 $\mathbb{P}^{\frac{g+2}{3}}$ 中拟 Veronese 曲线上 $g+2$ 个点。
• 双曲与循环三重覆盖映射下 Hodge 类 $\lambda$ 的拉回可表示为共形块除子之和，其中 $h^*(\lambda) = \frac{1}{2}\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{1,(1,\ldots,1)}$ 且 $f_{g+2,3}^*(\lambda) = \frac{2}{3}\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_{g+2}}_{1,((g+2)/3,\ldots,(g+2)/3)}$，从而确认了其几何一致性。