[论文解读] The conical Kähler-Ricci flow with weak initial data on Fano manifold

Jiawei Liu, Xi Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文在 Fano 流形上建立了具有弱初值（$L^p$ 密度，$p>1$）的锥形 Kähler-Ricci 流的长时间存在性、唯一性及收敛性。通过扭曲 Kähler-Ricci 流的光滑逼近与一致估计，作者在存在此类度量的前提下，证明了流收敛于锥形 Kähler-Einstein 度量，将先前结果推广至更低正则性的初值条件。

ABSTRACT

In this paper, we prove the long-time existence and uniqueness of the conical Kähler-Ricci flow with weak initial data which admits $L^{p}$ density for some $p>1$ on Fano manifold. Furthermore, we study the convergence behavior of this kind of flow.

研究动机与目标

• 在初值为弱初值（具体为 $p>1$ 时的 $L^p$ 密度）时，建立 Fano 流形上锥形 Kähler-Ricci 流的长时间存在性与唯一性。
• 将锥形 Kähler-Ricci 流的收敛结果推广至非光滑或非模型锥形度量的初值，即具有 $L^p$-可积密度的当前（currents）。
• 通过允许初值属于类 $\mathcal{E}_p(M,\omega_0)$，推广先前关于锥形 Kähler-Ricci 流的结果，该类包含比以往考虑的更弱正则性的势函数。
• 证明在锥形 Kähler-Einstein 度量存在的前提下，即使从具有 $L^p$ 密度的弱初值出发，流仍收敛于该度量。

提出的方法

• 作者采用扭曲 Kähler-Ricci 流的光滑逼近，构造一族光滑流 $\omega_\varepsilon(t)$，使其在 $\varepsilon \to 0$ 时逼近锥形流。
• 利用 Kolodziej 的 $L^p$-估计与 Dinew 的唯一性定理，在远离除子 $D$ 的紧子集上建立一致的 $C^0$ 与 $C^k$ 估计。
• 通过势函数 $\varphi(t)$ 研究流，其中 $\omega(t) = \omega_0 + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\varphi(t)$，并在 $t \to \infty$ 时于 $L^\infty$-拓扑下分析收敛性。
• 证明依赖于一致的拉普拉斯 $C^2$ 估计与 $t \geq 1$ 时的局部 $C^k$ 估计，这些估计源自文献 [34] 的论证，确保在除子外的区域具有正则性。
• 通过扭曲 Mabuchi $\mathcal{K}$-能量泛函的一致恰当性与在无切向全纯向量场条件下的锥形 Kähler-Einstein 度量唯一性，建立收敛性。
• 作者利用 Moser-Trudinger 型不等式与 Ding 泛函估计，控制能量泛函并确保收敛至极限度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始数据为具有 $p>1$ 的 $L^p$ 密度的弱初值当前时，锥形 Kähler-Ricci 流是否具有长时间解？
• RQ2 对于此类弱初值，锥形 Kähler-Ricci 流的唯一性与收敛性是否可被确立？
• RQ3 流在光滑逼近下是否稳定？逼近流是否一致收敛于具有所需正则性的解？
• RQ4 在初始数据非光滑时，流在何种条件下收敛于锥形 Kähler-Einstein 度量？
• RQ5 当 $\varepsilon \to 0$ 与 $t \to \infty$ 时，势函数及其时间导数的一致估计在极限下如何表现？

主要发现

• 对于 $p>1$，在类 $\mathcal{E}_p(M,\omega_0)$ 中具有弱初值的锥形 Kähler-Ricci 流对所有时间存在且唯一，且在当前意义下满足流方程。
• 对任意 $k \in \mathbb{N}^+$ 及任意紧子集 $K \subset \subset M \setminus D$，在 $t \geq 1$ 时，势函数 $\psi_\varepsilon(t)$ 在 $K$ 上满足与 $\varepsilon$ 无关的一致 $C^k$ 估计。
• 若存在锥形 Kähler-Einstein 度量，则当 $t \to \infty$ 时流收敛于该度量，前提是除子 $D$ 上不存在非平凡的切向全纯向量场。
• 扭曲 Mabuchi $\mathcal{K}$-能量泛函是一致恰当的，满足 $\mathcal{M}_{\omega_0,\theta_\varepsilon}(\phi) \geq C_1 J_{\omega_0}(\phi) - C_2$，其中 $C_1, C_2$ 为一致常数，确保收敛性。
• Ding 泛函 $F_{\omega_0,\theta_\varepsilon}$ 一致恰当，且 $F_{\omega_0,\theta_\varepsilon}$ 与 $F_{\omega_0,(1-\beta)D}$ 之间的差值一致有界，与 $\varepsilon$ 无关。
• 流的收敛性在 $L^\infty$-拓扑下成立：当 $t \to 0^+$ 时，$\|\varphi(t) - \varphi_0\|_{L^\infty(M)} \to 0$，且 $\varphi(t)$ 在 $M$ 上以 $C^\alpha$ 范数收敛于锥形 Kähler-Einstein 势函数，其中 $\alpha \in (0,1)$。