[论文解读] A Fast Network-Decomposition Algorithm and its Applications to Constant-Time Distributed Computation

Leonid Barenboim, Michael Elkin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文提出了一种随机化分布式算法，可在任意常数 $\theta > 0$ 下以常数时间计算出强 $(O(1), O(n^{\theta}))$-网络分解，显著优于以往的常数时间结果，颜色数量大幅减少（$O(n^{\theta})$ 与 $O(n^{1/2+\theta})$ 相比）。该方法通过迭代聚类和随机着色实现常数时间计算，同时保持较低的聚类直径和颜色数量，从而为最小着色和支配集等基础问题提供了改进的近似算法。

ABSTRACT

A partition $(C_1,C_2,...,C_q)$ of $G = (V,E)$ into clusters of strong (respectively, weak) diameter $d$, such that the supergraph obtained by contracting each $C_i$ is $\ell$-colorable is called a strong (resp., weak) $(d, \ell)$-network-decomposition. Network-decompositions were introduced in a seminal paper by Awerbuch, Goldberg, Luby and Plotkin in 1989. Awerbuch et al. showed that strong $(exp\{O(\sqrt{ \log n \log \log n})\}, exp\{O(\sqrt{ \log n \log \log n})\})$-network-decompositions can be computed in distributed deterministic time $exp\{O(\sqrt{ \log n \log \log n})\}$. The result of Awerbuch et al. was improved by Panconesi and Srinivasan in 1992: in the latter result $d = \ell = exp\{O(\sqrt{\log n})\}$, and the running time is $exp\{O(\sqrt{\log n})\}$ as well. Much more recently Barenboim (2012) devised a distributed randomized constant-time algorithm for computing strong network decompositions with $d = O(1)$. However, the parameter $\ell$ in his result is $O(n^{1/2 + ε})$. In this paper we drastically improve the result of Barenboim and devise a distributed randomized constant-time algorithm for computing strong $(O(1), O(n^ε))$-network-decompositions. As a corollary we derive a constant-time randomized $O(n^ε)$-approximation algorithm for the distributed minimum coloring problem, improving the previously best-known $O(n^{1/2 + ε})$ approximation guarantee. We also derive other improved distributed algorithms for a variety of problems. Most notably, for the extremely well-studied distributed minimum dominating set problem currently there is no known deterministic polylogarithmic-time algorithm. We devise a {deterministic} polylogarithmic-time approximation algorithm for this problem, addressing an open problem of Lenzen and Wattenhofer (2010).

研究动机与目标

• 开发一种常数时间的分布式算法，用于强网络分解，其颜色数量相比以往的常数时间方法有显著改善。
• 解决在分布式网络中设计最小支配集问题的确定性多对数时间近似算法这一开放问题。
• 将分布式最小着色问题的近似比改进至优于此前已知的 $O(n^{1/2+\theta})$ 保证。
• 利用新的网络分解框架，为一系列基础分布式问题提供高效的常数时间解法。

提出的方法

• 该算法通过一种随机着色方案迭代构建聚类，确保聚类直径较低且颜色数量有界。
• 它采用分层聚类过程，通过多轮本地计算和消息传递，将顶点分组为具有常数强直径的聚类。
• 该方法使用一种新颖的随机划分策略，将顶点分配到聚类中，使得收缩聚类的超图具有 $O(n^{\theta})$-可着色性。
• 它应用一种带参数 $\theta$ 的递归分解技术，以控制聚类直径与颜色数量之间的权衡，实现常数运行时间。
• 该算法利用每个聚类的邻域可独立处理的特性，支持并行执行并实现常数时间收敛。
• 它整合了集中式多项式时间近似算法（例如集合覆盖）来计算聚类内的局部支配集，从而保证有界的近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意常数 $\theta > 0$，能否在常数分布式时间内计算出具有常数聚类直径和 $O(n^{\theta})$ 种颜色的强网络分解？
• RQ2 这种改进的网络分解能否带来对分布式最小着色问题更好的近似算法？
• RQ3 这种新的分解技术能否用于设计最小支配集问题的确定性多对数时间近似算法？
• RQ4 该框架是否能实现对 $t$-生成树问题的常数时间近似，且近似比更优？

主要发现

• 本文提出了一种随机化分布式算法，可在 $\exp\{O(1/\theta)\}$ 时间内计算出强 $(O(1), O(n^{\theta}))$-网络分解，对任意常数 $\theta > 0$ 实现常数运行时间。
• 该结果优于以往的常数时间算法，后者需要 $O(n^{1/2+\theta})$ 种颜色，而本文将颜色数量减少至 $O(n^{\theta})$（对任意 $\theta > 0$）。
• 作为推论，本文获得了对分布式最小着色问题的常数时间随机 $O(n^{\theta})$-近似算法，优于此前的 $O(n^{1/2+\theta})$ 保证。
• 该框架实现了最小支配集问题的确定性多对数时间近似算法，解决了 Lenzen 和 Wattenhofer（2010）提出的开放问题。
• 该方法在 $\exp\{O(k)\} + O(t)$ 的随机时间内实现了对 $t$-生成树问题的 $O(n^{1/k})$-近似，且局部计算为多项式时间。
• 该算法在局部子问题（如聚类中的支配集）中使用集中式 $O(\log \Delta)$-近似技术，确保近似比有界，且不增加整体运行时间。