[论文解读] The Ultraviolet Structure of Quantum Field Theories. Part 2: What is Quantum Field Theory?

Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|May 25, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 75被引用 4

一句话总结

本文提出了一种有限框架，通过在短距离处保持保守的纠缠模式，从大但有限的格点系统中分离出低能有效理论，实现了对连续量子场论（cQFT）的非微扰定义。该框架从大K时的格点$π_K$钟模型推导出自由标量CFT中的算符乘积展开（OPE），并在BKT区域建立了新颖且自洽的对称性自发破缺结构，同时通过具有明显连续对称性的格点路径积分形式，将诺特定理推广至离散对称性。

ABSTRACT

This paper proposes a general framework for nonperturbatively defining continuum quantum field theories. Unlike most such frameworks, the one offered here is finitary: continuum theories are defined by reducing large but finite quantum systems to subsystems with conserved entanglement patterns at short distances. This makes it possible to start from a lattice theory and use rather elementary mathematics to isolate the entire algebraic structure of the corresponding low-energy continuum theory. The first half of this paper illustrates this approach through a persnickety study of (1 + 1)D continuum theories that emerge from the $\mathbb{Z}_K$ clock model at large $K$. This leads to a direct lattice derivation of many known continuum results, such as the operator product expansion of vertex operators in the free scalar CFT. Many new results are obtained too. For example, self-consistency of the lattice-continuum correspondence leads to a rich, novel proposal for the symmetry breaking structure of the clock model at weak coupling, deep in the BKT regime. This also makes precise what one means by "continuous" when saying that continuous symmetries cannot be broken in (1+1)D. The second half of this paper is devoted to path integrals for continuum theories of bosons and fermions defined in this finitary formalism. The path integrals constructed here have both nonperturbative lattice definitions and manifest continuum properties, such as symmetries under infinitesimal rotations or dilatations. Remarkably, this setup also makes it possible to generalize Noether's theorem to discrete symmetries.

研究动机与目标

• 通过具有保守短距离纠缠模式的大但有限的量子系统，提供一种非微扰且有限的连续量子场论（cQFT）定义。
• 解决格点-连续对应关系中的长期挑战，如手征异常、陈-西蒙斯理论，以及电流代数和OPE等高级cQFT结构的出现。
• 从离散理论出发，严格推导出已知的连续结果，例如自由标量CFT中顶点算符的OPE。
• 通过构建在格点形式中具有明显连续对称性的路径积分（例如旋转、缩放），将诺特定理推广至离散对称性。
• 阐明连续极限出现的条件，特别是在1+1D系统中，并定义非平凡背景结构（如自旋结构和光滑背景）的作用。

提出的方法

• 引入由具有整数本征值的对易粒子数算符$n_k$及其关联升降算符构成的预连续基，推广福克空间占据数，但不假设粒子统计或全同粒子对称性。
• 通过将升降算符限制在动量的较小子集$\mathbb{P}_S \subset \mathbb{P}$上，定义连续基，其中$k \notin \mathbb{P}_S$处的激发能量较高，因此在有效意义上表现为经典行为。
• 将$k \notin \mathbb{P}_S$的算符$n_k$识别为连续代数中的中心元，强制短距离处的经典行为，从而实现cQFT结构的涌现。
• 在有限形式中构造玻色子和费米子的路径积分，确保其从格点构造中继承明显的连续对称性（例如无穷小旋转、缩放）。
• 使用格点哈密顿量（2.2）来模拟一般预连续相互作用，包括质量项、化学势、BCS项和对称性破缺势，表明它们如何影响占据数$\langle n_k \rangle$，而不改变预连续基。
• 通过证明在连续极限下，格点对称性产生守恒流，将诺特定理推广至离散对称性，且路径积分形式非微扰地保持这些对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个具有大但有限希尔伯特空间的大规模有限量子系统，如何通过短距离处的保守纠缠模式产生明确定义的连续量子场论？
• RQ2 自由标量共形场论中算符乘积展开（OPE）的格点起源是什么？能否直接从大K时的$\mathbb{Z}_K$钟模型推导出？
• RQ3 在钟模型的弱耦合、BKT区域中，格点-连续对应关系的自洽性如何约束对称性破缺结构？
• RQ4 是否可以在非微扰、基于格点的形式中将诺特定理推广至离散对称性，且路径积分能保持连续对称性？
• RQ5 在格点-连续对应关系中，何时允许时间平滑或限制时空环面为圆盘的操作？何时 universality 失效？

主要发现

• 本文直接从格点推导出自由标量共形场论中顶点算符的算符乘积展开（OPE），确认了该有限框架与已知连续结果的一致性。
• 在弱耦合和大K时，提出了$\mathbb{Z}_K$钟模型中对称性破缺结构的新颖且自洽的方案，澄清了在1+1D中Coleman-Mermin-Wagner定理语境下“连续”的确切含义。
• 该框架表明，$k \notin \mathbb{P}_S$的算符$n_k$在连续代数中为中央元，意味着其行为为经典，从而使得cQFT能从有限系统中涌现。
• 此处构建的路径积分形式继承了明显的连续对称性（如无穷小旋转和缩放），为连续动力学提供了非微扰的格点定义。
• 通过证明在约化理论中，格点对称性在连续极限下产生守恒流，将诺特定理推广至离散对称性，且路径积分精确保持这些对称性。
• 分析表明，当引入光滑背景$p^{\mathrm{cl}}_x$时，非平凡的目标空间自旋结构（或其推广）可能在cQFT中变得至关重要，提示拓扑数据在连续极限中可能具有更深层的作用。