[论文解读] Windowed quantum arithmetic

Craig Gidney|arXiv (Cornell University)|May 19, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文提出窗口化量子算术（windowed quantum arithmetic），一种利用经典查表技术减少量子线路中Toffoli门数量的技术，通过将受控操作分组实现。通过预先计算小窗口内操作的结果（例如模指数运算或乘法中的情况），即使经典预计算成本较高，该方法在实际量子比特规模（数十至数千量子比特）下仍能实现比以往方法更低的资源开销。

ABSTRACT

We demonstrate a technique for optimizing quantum circuits that is analogous to classical windowing. Specifically, we show that small table lookups can allow control qubits to be iterated in groups instead of individually. We present various windowed quantum arithmetic circuits, including a windowed modular exponentiation with nested windowed modular multiplications, which have lower Toffoli counts than previous work at register sizes ranging from tens of qubits to thousands of qubits.

研究动机与目标

• 将经典窗口化技术（用于减少经典计算中的操作次数）适配至量子领域。
• 减少量子算术线路中的Toffoli门数量，尤其针对使用经典常数的模指数运算和乘法。
• 证明在实际寄存器尺寸（数十至数千量子比特）下，窗口化量子算术在Toffoli门数量上优于以往方法。
• 探索嵌套窗口化优化（如模指数运算中的窗口化模乘法）的可行性与效率。
• 评估容错量子计算中经典预计算成本与量子资源节省之间的权衡。

提出的方法

• 使用由量子寄存器寻址的小型经典查表，替代受控操作序列。
• 通过预先计算指数位块（例如20次重复平方法）的结果，将窗口化技术应用于模指数运算。
• 采用基于测量的逆计算方法，在O(√L)个Toffoli门内完成查表的逆操作，而非O(L)，从而实现高效的资源复用。
• 将窗口化乘法与窗口化指数运算结合，实现嵌套优化，降低整体电路深度与Toffoli门数量。
• 在Q#中实现并基准测试相关构造，使用追踪模拟器比较窗口化、传统方法和Karatsuba乘法的Toffoli门数量。
• 采用地址寄存器的单射编码，以在逆计算过程中实现受控相位校正，最小化Toffoli门开销。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典窗口化技术能否有效适配至量子算术运算中，以减少量子线路深度与Toffoli门数量？
• RQ2 在实际量子比特规模下，窗口化量子算术的Toffoli门数量与传统方法和Karatsuba乘法相比如何？
• RQ3 在容错量子电路中，经典预计算成本与量子资源节省之间的权衡关系如何？
• RQ4 嵌套窗口化（如模指数运算中的窗口化乘法）能否显著提升电路效率？
• RQ5 窗口化技术在何种条件下对量子算术有效，又在何种情况下会失效（例如当所有操作数均为量子寄存器时）？

主要发现

• 对于从数十到数千量子比特的寄存器尺寸，窗口化量子算术实现的Toffoli门数量低于以往方法。
• 该技术通过预计算查表保存多个受控乘法操作，即使经典预计算成本较高，仍能显著减少Toffoli门数量。
• 在实际尺寸下，窗口化乘法在Toffoli门数量上优于传统方法与Karatsuba乘法，尽管后者具有更优的渐近时间复杂度。
• 嵌套窗口化模指数电路通过使用窗口化模乘法降低整体资源开销，当窗口大小设为√(n)时，其Toffoli复杂度为O(nen² / log²n)。
• 基于测量的逆计算使查表的逆操作仅需O(√L)个Toffoli门，使得逆操作的开销与计算开销相比可忽略不计。
• 该方法在乘法的常数因子为经典值时最有效，当所有操作数均为量子寄存器时则会失效。