[論文レビュー] 2 Realization theory of discrete-time linearswitched systems

M. Petreczky|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2016

Control Systems and Identification参考文献 54被引用数 18

ひとこと要約

本稿は離散時間線形スイッチドシステム（DTLSS）の実現理論を確立し、入出力写像がDTLSSの実現をもつことと、そのヒルベルト行列が有限ランクであることの必要十分条件を示している。主な貢献は、スパン到達可能性と可観測性を用いた最小性の特徴付けであり、最小実現は状態空間変換に関して一意に同型である。その根幹をなす数学的道具は有理形式的べき級数である。

ABSTRACT

The paper presents realization theory of discrete-time linear switched systems. A discrete-time linear switched system is a hybrid system, such that the continuous sub-system associated with each discrete state is linear. In this paper we present necessary and sufficient conditions for an input-output map to admit a discrete-time linear switched state-space realization. The conditions are formulated as finite rank conditions of a generalized Hankel-matrix. In addition, we present a characterization of minimality of discrete-time linear switched systems in terms of reachability and observable.Further, we prove that minimal realizations are unique up to isomorphism. We also discuss procedures for converting a linear switched system to a minimal one and we present an algorithm for constructing a state-space representation from input-output data.The paper uses the theory rational formal power series in non-commutative variables. The latter theory was successfully applied to bilinear and state-affine systems in the past.

研究の動機と目的

• 連続時間系については広範な研究がなされているが、離散時間線形スイッチドシステムの実現理論の欠如に取り組む。
• 入出力写像がDTLSS状態空間実現をもつための必要十分条件を提供する。
• DTLSSの最小性をスパン到達可能性と可観測性の観点から特徴づけ、最小実現が同型を除いて一意であることを証明する。
• DTLSSの最小化アルゴリズムと、入出力データから状態空間モデルを構築する手法を開発する。
• DTLSSと有理形式的べき級数の間の正式な対応関係を確立し、高度な代数的道具の利用を可能にする。

提案手法

• DTLSSを、各モードで線形ダイナミクスを有する離散時間システムと定義し、スイッチングは外部入力によって制御されることを想定する。
• DTLSSにおけるマコフパラメータとヒルベルト行列の概念を導入し、非可換設定への線形システム理論の一般化を図る。
• 非可換変数における有理形式的べき級数の理論を、基礎的な数学的枠組みとして用いる。
• DTLSS実現が存在することと、入出力写像のヒルベルト行列が有限ランクであることの必要十分条件であることを証明する。
• 任意のDTLSSを、逐次的な到達可能性および可観測性の低減により最小実現に変換する最小化アルゴリズムを構築する。
• DTLSSとその有理形式的べき級数表現との間の同型関係を確立し、構造的同値性を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、入出力写像が離散時間線形スイッチド状態空間実現をもつのか。
• RQ2 DTLSSの最小性は、到達可能性や可観測性といったシステム理論的性質によってどのように特徴づけられるか。
• RQ3 与えられた入出力写像の最小実現は、同型を除いて一意的か。
• RQ4 DTLSSの実現問題と有理形式的べき級数の理論との関係は何か。
• RQ5 入出力データからアルゴリズム的に最小DTLSSを構築するにはどうすればよいか。

主な発見

• 入出力写像がDTLSS実現をもつことと、その関連するヒルベルト行列が有限ランクであることの必要十分条件である。
• 最小DTLSSはスパン到達可能性と可観測性の両方を満たしており、このような実現は同型を除いて一意的である。
• 最小実現は、対応する有理形式的べき級数の最小表現と同型である。
• 任意のDTLSSを最小実現に変換する最小化アルゴリズムが存在し、入出力挙動を保持する。
• 入出力写像のヒルベルト行列から直接状態空間表現を構築する手順が提供されている。
• DTLSSの実現問題は、有理形式的べき級数の実現問題と同値であり、深い代数的対応関係が確立された。