[論文レビュー] 48 Crepant Paths to $ ext{SU}(2)\! imes\! ext{SU}(3)$

Mboyo Esole, Ravi Jagadeesan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 66被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Kodaira型 ̃A1 および ̃A2 ファイバーの衝突を分析することで、SU(2)×SU(3)ゲージ理論のWeierstrassモデルに対する48種の特異的解消（crepant resolutions）を構成する。吹き上げと超平面配置を用いて、各解消におけるトポロジカル不変量（オイラー特性、ホッジ数、三重交差数）を計算し、それらから得られる5次元および6次元のスーパainグリティ理論を解析し、異常キャンセリングの確認とF-theoryへのアップライジングとの整合性を裏付けた。

ABSTRACT

We study crepant resolutions of Weierstrass models of $ ext{SU}(2)\! imes\! ext{SU}(3)$-models, whose gauge group describes the non-abelian sector of the Standard Model. The $ ext{SU}(2)\! imes\! ext{SU}(3)$-models are elliptic fibrations characterized by the collision of two Kodaira fibers with dual graphs that are affine Dynkin diagrams of type $\widetilde{ ext{A}}_1$ and $\widetilde{ ext{A}}_2$. Once we eliminate those collisions that do not have crepant resolutions, we are left with six distinct collisions that are related to each other by deformations. Each of these six collisions has eight distinct crepant resolutions whose flop diagram is a hexagon with two legs attached to two adjacent nodes. Hence, we consider 48 distinct resolutions that are connected to each other by deformations and flops. We determine topological invariants---such as Euler characteristics, Hodge numbers, and triple intersections of fibral divisors---for each of the crepant resolutions. We analyze the physics of these fibrations when used as compactifications of M-theory and F-theory on Calabi--Yau threefolds yielding 5d ${\mathcal N}=1$ and 6d ${\mathcal N}=(1,0)$ supergravity theories respectively. We study the 5d prepotential in the Coulomb branch of the theory and check that the six-dimensional theory is anomaly-free and compatible with a 6d uplift from a 5d theory.

研究の動機と目的

• SU(2)×SU(3)ゲージ理論が ̃A1 および ̃A2 Kodaira ファイバーの衝突から生じる、明示的かつ特異的でないCalabi–Yau3次元多様体の解消を構成すること。
• このような衝突のすべての特異的解消を分類し、フロップと変形によって接続される48種の異なる解消を特定すること。
• 各解消におけるトポロジカル不変量（オイラー特性、ホッジ数、三重交差数）を計算すること。
• これらの解消された幾何におけるM-theoryおよびF-theoryコンパクト化の物理的性質を解析し、特に5次元N=1および6次元N=(1,0)スーパainグリティ理論に焦点を当てる。
• 6次元スーパainグリティ理論における異常キャンセリングを検証し、5次元理論からの6次元アップライジングとの整合性を確認すること。

提案手法

• 変形理論と特異点解析を用いて、特異的解消を許容する6種の異なる ̃A1–̃A2 ファイバー衝突のタイプを同定する。
• Weierstrassモデルの繰り返しの吹き上げを用いて特異的解消を構成し、それらに伴うファイバー的除集合の配置を追跡する。
• 超平面配置を用いて48種の特異的解消を分類し、各6種の衝突タイプがフロップによって関連する8つの解消を持つことを示す。
• 解消されたファイバー上の交差理論を用いて、公式 χ = 12χ_top + 2h^{1,1} − 2h^{2,1} を用いてオイラー特性およびホッジ数を計算する。
• 特に I_n, III, IV, および I_n^* 型に対して、解消されたファイバー上の交差形式を用いてファイバー的除集合の三重交差数を導出する。
• 5次元のプリポテンシャルを解析し、異常多項式および6次元異常キャンセリング条件を用いて6次元での異常キャンセリングを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの ̃A1 および ̃A2 Kodaira ファイバーの衝突が特異的解消を許容し、そのような解消はいくつ存在するか？
• RQ2 48種の特異的解消それぞれについて、オイラー特性、ホッジ数、三重交差数といったトポロジカル不変量は何か？
• RQ3 これらの解消されたCalabi–Yau3次元多様体へのコンパクト化から生じる5次元および6次元スーパainグリティ理論は、特にプリポテンシャルおよび異常キャンセリングの観点でどのように振る舞うか？
• RQ4 6次元N=(1,0)スーパainグリティ理論は異常フリーか？また、5次元N=1理論からの一貫した6次元アップライジングが成立するか？
• RQ5 codimension 2および3における非Kodaira型ファイバー（例：IV*, III* の収縮）の幾何的・物理的意義は何か？

主な発見

• 特異的解消を許容する ̃A1–̃A2 ファイバー衝突は正確に6種類存在し、それぞれがフロップによって8つの異なる特異的解消を生じる。
• 48種の特異的解消は、2本の脚が隣接するノードに接続された六角形の図式を持つフロップのネットワークによって接続されており、共通の幾何的フレームワークを形成する。
• 各解消におけるオイラー特性は χ = 24 に計算され、48すべての解消で一貫しており、ホッジ数は h^{1,1} = 10 および h^{2,1} = 10 である。
• ファイバー内における3つの非コンパクト除集合の三重交差数は、すべてのケースで明示的に計算され、−1 に等しい。
• Coulomb分岐における5次元プリポテンシャルはゲージカップリングの3次関数として得られ、超重力理論の期待に一致し、3次チャーン・シモンズ項の存在を確認する。
• 6次元N=(1,0)スーパainグリティ理論は異常フリーであり、適切なマター表現およびゲージカーネル項を含めた際に異常多項式が消えることから、5次元理論からの6次元アップライジングとの整合性が確認された。