[論文レビュー] A Benchmarking Study of Quantum Algorithms for Combinatorial Optimization

Krishanu Sankar, Artur Scherer+9 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 46被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、MaxCut問題を解くための3つの量子アルゴリズム—測定フィードバック型コherent Isingマシン（MFB-CIM）、離散的アディアバティック量子計算（DAQC）、および Dürr–Høyer 量子最小値探索（DH-QMF）アルゴリズム—をベンチマークしている。MFB-CIMは、Θ(2^√n) の中央値時間-到達解像度スケーリングを示し、DAQC（nに指数的に依存）およびDH-QMF（˜O(√(2^n))）に比べて顕著な性能優位性を示しており、組合せ最適化において顕著な理論的高速化を実現している。

ABSTRACT

We study the performance scaling of three quantum algorithms for combinatorial optimization: measurement-feedback coherent Ising machines (MFB-CIM), discrete adiabatic quantum computation (DAQC), and the Dürr-Hoyer algorithm for quantum minimum finding (DH-QMF) that is based on Grover's search. We use MaxCut problems as a reference for comparison, and time-to-solution (TTS) as a practical measure of performance for these optimization algorithms. For each algorithm, we analyze its performance in solving two types of MaxCut problems: weighted graph instances with randomly generated edge weights attaining 21 equidistant values from $-1$ to $1$; and randomly generated Sherrington-Kirkpatrick (SK) spin glass instances. We empirically find a significant performance advantage for the studied MFB-CIM in comparison to the other two algorithms. We empirically observe a sub-exponential scaling for the median TTS for the MFB-CIM, in comparison to the almost exponential scaling for DAQC and the proven $\widetilde{O}\left(\sqrt{2^n} ight)$ scaling for DH-QMF. We conclude that the MFB-CIM outperforms DAQC and DH-QMF in solving MaxCut problems.

研究の動機と目的

• 理想状態でノイズのない条件下における、3つの異なる量子アルゴリズムの理論的性能スケーリングを評価すること。
• 代表的なNP困難問題としてのMaxCut問題に対して、MFB-CIM、DAQC、DH-QMFの時間-到達解像度（TTS）性能を比較すること。
• ユニタリ型および散逸型量子アルゴリズムの内在的リソース要件とスケーリング特性を、現行のハードウェア制限とは独立して分離・分析すること。
• 量子アルゴリズムが、難しい最適化問題を解くために、古典的ヒューリスティクスに対して意味のある理論的優位性を達成できるかどうかを特定すること。

提案手法

• 研究では、MaxCut問題をベンチマークとして用い、スピンガラス模型にマッピングし、結合項 J_ij と局所磁場 h_i を用いる。
• DAQC については、ユニタリ回路モデル量子コンピュータ上で、アディアバティック経路のTrotter近似を用いた離散的アディアバティック遷移を実装する。
• DH-QMF アルゴリズムは、Groverの探索を基本として用い、スピン配置のエネルギーを制御位相回転とモジュラ算術を用いて計算するカスタム量子オラクルを実装する。
• エネルギー・オラクル O_E は、結合重み J_ij の逐次的制御加算／減算を実行し、効率性を高めるためにDraperのQFTベース加算法を活用する。
• 2つの配置間の比較には、エネルギー比較に基づいてフラグ・キュービットを出力する対数的深さの比較回路を用いる。
• 完全なGrover反復は、フラグ・キュービットに作用する制御NOTゲートと、ゴミデータを消去するアンコンピュテーションの後に続くものであり、ProjectQを用いて回路深さとゲート複雑度を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 理想状態下におけるMaxCut問題に対して、MFB-CIM、DAQC、DH-QMFの時間-到達解像度（TTS）スケーリング特性はどのように比較されるか？
• RQ2 回路モデル量子コンピュータ上でMaxCut問題にDH-QMFアルゴリズムを実装する際の理論的リソースコスト（回路深さとゲート複雑度）はどの程度か？
• RQ3 散逸型のMFB-CIMアプローチは、DAQC や DH-QMF のようなユニタリ型アプローチに比べて、より優れた漸近的スケーリングを達成できるか？
• RQ4 特に密なグラフに対しては、エネルギー評価のための量子オラクルを、キュービット数とゲート数の観点から効率的に実装できるか？

主な発見

• MFB-CIM の中央値時間-到達解像度（TTS）は Θ(2^√n) にスケーリングされ、古典的および他の量子手法に比べて非指数的スケーリングの優位性を示している。
• DAQC は、n に指数的に依存するTTSスケーリングを示し、ブルートフォース探索の最悪ケース古典的複雑度と一致する。
• DH-QMF アルゴリズムは、証明可能なTTSスケーリング Õ(√(2^n)) を達成しており、古典的全探索に比べて2乗の量子高速化を実現している。
• エネルギー・オラクル O_E は、J_ij 操作の逐次実行に起因し、回路深さが Θ(n² log log n + (log n)²)、ゲート複雑度が Θ(n² log n log log n + (log n)²) となる。
• 並列化されたバージョンのオラクルは深さを Θ(n + (log n)³ + log log n) に低減できるが、O(n² log n) の追加キュービットを必要とし、現段階のリソース制約では実用的ではない。
• 全体のGrover反復の深さは Θ(n² log log n + (log n)² + n) であり、ゲート複雑度も同様の項が支配的であるため、アルゴリズムのスケーラビリティのボトルネックはエネルギー・オラクルに存在することが確認された。