[論文レビュー] A bicategory of decorated cospans

Kenny Courser|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、有限余極限を持つ圏における余コスパンに余計な構造（例：重み、ベクトル場）を付加するための対称ラクスモノイド関手を用いて、装飾付き余コスパンの対称モノイド2圏を導入する。シュルマンの技法を活用して、擬双層圏から対称モノイド2圏を構成する手法により、電気回路や力学系のような構造的部品を備えたネットワークをモデル化する枠組みを確立し、装飾付き余コスパンの同型類を通じて合成的推論を可能にする。

ABSTRACT

If $\mathbf{C}$ is a category with pullbacks then there is a bicategory with the same objects as $\mathbf{C}$, spans as morphisms, and maps of spans as 2-morphisms, as shown by Benabou. Fong has developed a theory of "decorated" cospans, which are cospans in $\mathbf{C}$ equipped with extra structure. This extra structure arises from a lax symmetric monoidal functor $F \colon \mathbf{C} o \mathbf{D}$; we use this functor to "decorate" each cospan with apex $N \in \mathbf{C}$ with an element of $F(N)$. Using a result of Shulman, we show that when $\mathbf{C}$ has finite colimits, decorated cospans are morphisms in a symmetric monoidal bicategory. We illustrate our construction with examples from electrical engineering and the theory of chemical reaction networks.

研究の動機と目的

• 余コスパンの2圏を、対称ラクスモノイド関手を用いて余計な構造を付加することで一般化すること。
• 電気回路や化学反応ネットワークのような、応用力学や工学分野のネットワークに対して、合成的枠組みを提供すること。
• 装飾付き余コスパンを圏ではなく2圏の射として扱うことで、ネットワークの同型類を形式化すること。
• シュルマンの対称モノイド2圏の手法を用いて、ステイの余コスパンの結果を装飾付き余コスパンへと拡張すること。
• ネットワークの合成と構造の装飾を統合し、より豊かなオープンシステムのモデリングを可能にすること。

提案手法

• 圏 C における余コスパンの頂点に、F(N) ∈ D に属する要素を関手 F: C → D を用いて装飾する。
• C における選択された余結合と余直積を用いて、装飾付き余コスパンから対称モノイド擬双層圏を構成する。
• シュルマンの技法を適用し、双層圏を装飾付き余コスパンの対称モノイド2圏へと上げる。
• 射を、I → F(N) という写像で装飾された余コスパン X → N ← Y として定義する。ここで I は D における単位対象である。
• 余結合と関手 F のモノイド構造に起因する合成の整合性を保証し、対称性と結合則を維持する。
• 例を用いて構成を説明する：電気回路には重み付きグラフ、力学系にはベクトル場を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 装飾付き余コスパンを、ネットワーク理論における合成的推論を可能にする対称モノイド2圏にどのように整理できるか？
• RQ2 装飾付き余コスパンが対称モノイド2圏をなすために、圏 C と関手 F に課すべき条件は何か？
• RQ3 対称ラクスモノイド関手 F の使用が、抵抗やベクトル場のような物理的構造をネットワーク部品に符号化するためにどのように寄与するか？
• RQ4 2圏の構造が、等価性を超えてネットワークの同型類をどのように扱えるか？
• RQ5 この枠組みは、力学系理論や電気回路におけるオープンシステムを、一様な圏論的言語を用いてモデリングできるか？

主な発見

• 構成により、対象が C の要素、射が F(N) からのデータを伴う余コスパン X → N ← Y、2-射が装飾を保存するスパンの写像である、対称モノイド2圏が得られる。
• 2圏の構造により、余結合を通じたネットワークの合成が可能となり、関手 F を介して装飾が一貫して変換される。
• 電気回路の文脈では、関手 F は各有限集合 N にその上での重み付きグラフの集合を割り当てる。重みは抵抗を表す。
• 力学系の文脈では、関手 D: FinSet → Set は各有限集合 S に R^S 上のベクトル場の集合を割り当て、オープンシステムをモデル化する。
• 本フレームワークは、リーマンやスパイヴァックによるオープン力学系に関する先行研究の結果を特別な場合として回復する。
• 本手法により、ステイの余コスパンに関する結果が装飾付き余コスパンへと一般化され、構造的でオープンなネットワークを合成的かつ対称モノイド的枠組みで体系的にモデリングする方法が提供される。