[論文レビュー] A Bit-Parallel Russian Dolls Search for a Maximum Cardinality Clique in a Graph

Ricardo C. Corrêa, Philippe Michelon+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ビット並列演算、近似頂点彩色による枝刈り、再帰的部分問題解決戦略を活用して、無向グラフにおける最大クリークを求めるための強化されたロシア人形サーチ（RDMC）アルゴリズムを提案する。この手法は、既存の組合せ的アルゴリズムを上回り、特に密なグラフにおいて顕著な性能向上を示し、最良の先行Exactソルバーよりも複数のケースで2倍以上の高速化を達成した。

ABSTRACT

Finding the clique of maximum cardinality in an arbitrary graph is an NP-Hard problem that has many applications, which has motivated studies to solve it exactly despite its difficulty. The great majority of algorithms proposed in the literature are based on the Branch and Bound method. In this paper, we propose an exact algorithm for the maximum clique problem based on the Russian Dolls Search method. When compared to Branch and Bound, the main difference of the Russian Dolls method is that the nodes of its search tree correspond to decision subproblems, instead of the optimization subproblems of the Branch and Bound method. In comparison to a first implementation of this Russian Dolls method from the literature, several improvements are presented. Some of them are adaptations of techniques already employed successfully in Branch and Bound algorithms, like the use of approximate coloring for pruning purposes and bit-parallel operations. Two different coloring heuristics are tested: the standard greedy and the greedy with recoloring. Other improvements are directly related to the Russian Dolls scheme: the adoption of recursive calls where each subproblem (doll) is solved itself via the same principles than the Russian Dolls Search and the application of an elimination rule allowing not to generate a significant number of dolls. Results of computational experiments show that the algorithm outperforms the best exact combinatorial algorithms in the literature for the great majority of the dense graphs tested, being more than twice faster in several cases.

研究の動機と目的

• 最大クリーク問題に対するより効率的な正確なアルゴリズムの開発。この問題はNP困難であり、多数の応用分野において中心的役割を果たす。
• 高度な枝刈りおよび並列化技術を統合することで、既存のロシア人形サーチ（RDS）実装を改善すること。
• 計算複雑性が高いため、従来の手法が困難をきたす密なグラフにおける、提案アルゴリズムの性能評価。
• 実際のハードな組合せ的インスタンスにおいて、ロシア人形アプローチが古典的な分枝限定法を上回ることを示すこと。

提案手法

• 探索木の各ノードが最適化部分問題ではなく意思決定部分問題を表すロシア人形サーチフレームワークを採用し、問題の再帰的分解を可能にする。
• 頂点集合の効率的表現と操作を実現するため、ビット並列演算を適用し、集合演算（特に共通部分集合や和集合）の高速化を図る。
• 上界の計算および非最適な分岐の早期刈り込みのために、標準的な貪欲法および再彩色を含む貪欲法の両方を用いた近似頂点彩色を採用する。
• 重複する部分問題の生成を回避するための強化された削除ルールを導入し、最適性を損なわずに探索空間を縮小する。
• 各部分問題に対して同じ原則を再帰的に適用することで、枝刈りおよび探索空間の縮小の整合性と深さを保証する。
• 動的候補順序付け（色の値に基づく）といった分枝限定法の技術を統合し、枝刈り効率の向上を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロシア人形サーチフレームワークは、最大クリーク問題に効果的に適応可能であり、既存の正確なアルゴリズムを上回る性能向上を達成できるか？
• RQ2 ビット並列演算および近似彩色は、RDSベースのクリークソルバーの効率をどの程度向上させるか？
• RQ3 提案された削除ルールは、解の品質に影響を与えることなく、生成される部分問題の数をどの程度削減できるか？
• RQ4 RDMCアルゴリズムは、問題が特に困難とされる密なグラフにおいて顕著な高速化を達成できるか？

主な発見

• RDMCアルゴリズムは、テストした多数の密なグラフにおいて、最良の既存の正確な組合せ的アルゴリズムを上回り、複数のインスタンスで2倍以上の高速化を達成した。
• 密度が0.8を超えるグラフでは、先行手法の2倍以上の性能を発揮し、ハードなインスタンスにおける強力なスケーラビリティを示した。
• ビット並列演算の導入により、特に部分グラフの生成や近傍クエリにおいて集合演算の高速化が実現され、計算時間を短縮した。
• 貪欲法および再彩色ヒューリスティクスを用いた近似彩色の統合により、枝刈り効率が顕著に向上し、探索ノード数が削減された。
• 強化された削除ルールは、多数の重複部分問題を効果的に削除し、収束速度の向上に寄与した。
• 1000頂点、50%の辺密度を持つ1/3-allおよび2/3-allグラフファミリーにおいて、RDMCは100秒未満でインスタンスを解き、PBBMCおよび他の最先端ソルバーを上回った。