[論文レビュー] A class number formula for Picard modular surfaces

Aaron Pollack, Shrenik Shah|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、モチーフ的コホロジーにおける新しいベイリンソン＝フラッシュ類を構成し、それらのアーキメデス的リグレーター対応を計算することで、ピカードモジュラー多様体の類数公式を確立する。非臨界な導関数とWhittaker周期、およびリグレーターを結ぶ特別値公式を証明し、この算術的設定におけるベイリンソンの予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

We investigate arithmetic aspects of the middle degree cohomology of compactified Picard modular surfaces $X$ attached to the unitary similitude group $\mathrm{GU}(2,1)$ for an imaginary quadratic extension $E/\mathbf{Q}$. We construct new Beilinson--Flach classes on $X$ and compute their Archimedean regulator. We obtain a special value formula involving a non-critical $L$-value of the degree six standard $L$-function, a Whittaker period, and the regulator. This provides evidence for Beilinson's conjecture in this setting.

研究の動機と目的

• ピカードモジュラー多様体の文脈において、モチーフ的 $L$-関数の特別値に関するベイリンソンの予想に対する証拠を提供すること。
• シーゲル単位を用いてモチーフ的コホロジーに明示的な類を構成し、代数的微分形式とのリグレーター対応を研究すること。
• これらの類のアーキメデス的リグレーターを計算し、$\mathrm{GU}(2,1)$ 上のカスプ的自動形式表現の標準 $L$-関数の導関数と関連付けること。
• リグレーター対応、Whittaker周期、および非臨界 $L$-値を正確に結ぶ公式を、代数的倍数を除いて確立すること。
• リグレーター対応が関数等式および局所 $L$-因子（特に不分岐および分岐素数において）と整合することを確認すること。

提案手法

• シーゲル単位および自動形式の理論を用いて、ピカードモジュラー多様体上の高次チャウ類を構成する。
• ランキン＝セルバーグ法を適用し、グローバル $L$-関数を自動形式上のイーゼンスタイン級数の積分と関連付ける。
• 微分形式をモチーフ的類に対して明示的に統合することで、アーキメデス的リグレーター対応を計算する。
• 局所 $p$-進 $L$-関数およびホイットカー関数の理論を用いて、すべての場所における局所因子を計算し、分岐、不分岐、および分岐素数のタイプを区別する。
• 素数 $p$ の分岐型に応じて、ラングランズおよびガンニングベルク型の局所積分を組み合わせたハイブリッド $L$-因子 $L_p(\pi_p \times \nu_{1,p}, \mathrm{Std}, s)$ を定義する。
• $L(\pi \times \nu_1, \mathrm{Std}, s)$ の関数等式および解析接続を適用し、$s=0$ における零点の重複度および導関数の非消失性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成されたモチーフ的類と代数的微分形式とのリグレーター対応が、ベイリンソンの予想と一致する特別値公式を導くか？
• RQ2 ディリクレ指標による twist が施された $\pi$ の標準 $L$-関数の導関数と、モチーフ的類のアーキメデス的リグレーターとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 分岐、不分岐、および分岐素数における局所 $L$-因子はどのように振る舞い、グローバル $L$-関数に寄与するか？
• RQ4 グローバル積分 $I(\Phi, \varphi_f, \nu, s)$ が $s=0$ で正則である条件は何か？ これは $L$-関数の零点の重複度にどのような意味を持つのか？
• RQ5 $ u_1^2 \cdot \omega_\pi|_{Z(\mathbf{A})}$ が非自明であるか、または $ \pi_p$ がある分岐場所で分岐している場合、リグレーター対応が非消失対象として解釈可能か？

主な発見

• 論文は特別値公式を確立する：$\langle \xi, \omega \rangle =_{\overline{\mathbf{Q}}^\times} W(\pi) L'(\pi \times \nu, \mathrm{Std}, 0)$ であり、リグレーター対応と標準 $L$-関数の導関数を結ぶ。
• 与えられた仮定のもとで、グローバル積分 $I(\Phi, \varphi_f, \nu, s)$ は $s=0$ で正則であり、$L(\pi \times \nu_1, \mathrm{Std}, s)$ が $s=0$ で少なくとも1次に零点を持つことを示唆する。
• すべての不分岐素数で $ \pi$ が不分岐であり、すべての $p \in \Sigma$ に対して $\alpha_p \neq 1$ であるとき、式 (62) 右辺は非ゼロであり、リグレーター対応が非消失であることを保証する。
• すべての不分岐素数で $ \pi$ が不分岐であり、中心的特徴方程式の条件が成り立つと仮定すると、$L(\pi \times \nu_1, \mathrm{Std}, s)$ は $s=0$ で正確に1次に零点を持つ。
• ハイブリッド $L$-因子の定義 $L_p(\pi_p \times \nu_{1,p}, \mathrm{Std}, s)$ は、$p$ の異なる分岐型にわたってラングランズおよびガンニングベルク型の局所積分を統合する。
• 式 (62) は、グローバル積分の $s=0$ における値を、Whittaker周期、ガンマ因子、および $L$-関数の導関数で明示的に表しており、代数的倍数を除いて成り立つ。