[論文レビュー] A class of globally solvable Markovian quadratic BSDE systems and applications

Hao Xing, Gordan Žitković|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 32被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、新たなリャプノフ関数条件と局所有界性仮定を用いて、二次非線形性を有する広範なクラスのマルコフ型バックワードストキャスティック微分方程式（BSDE）系のグローバルな存在および一意性を確立する。主な貢献は、終値条件の小規模性を要件としない、不完全市場における確率的均衡、非ゼロ和確率ゲーム、リーマン多様体上のマルティングルの解法に適用可能な一般化された可解性フレームワークの構築である。

ABSTRACT

We establish existence and uniqueness for a wide class of Markovian systems of backward stochastic differential equations (BSDE) with quadratic nonlinearities. This class is characterized by an abstract structural assumption on the generator, an a-priori local-boundedness property, and a locally-Hölder-continuous terminal condition. We present easily verifiable sufficient conditions for these assumptions and treat several applications, including stochastic equilibria in incomplete financial markets, stochastic differential games, and martingales on Riemannian manifolds.

研究の動機と目的

• 多次元BSDEに二次生成子を有する場合の、長年の未解決問題であるグローバルな存在および一意性の解明。
• 終値条件の小規模性に制限のない、マルコフ型二次BSDE系を解くための一般化されたフレームワークの構築。
• 新たな構造的仮定（リャプノフ関数の存在）と局所有界性を組み合わせることで、可解性の十分条件を確立すること。
• 数学的ファイナンス、確率ゲーム、多様体上での確率解析の主要問題へのフレームワークの応用。
• 先行研究に見られる測度変換や対角二次的仮定を排除することで、既存の結果を拡張すること。

提案手法

• 生成子にリャプノフ関数の存在を介した新たな構造的条件を導入し、任意の解Yに対してh(Y)が厳密なサブmartingaleであることを保証する。
• 生成子に対する事前局所有界性条件を課して、成長を制御し、パスワイズ正則性を確保する。
• 変数変換（例：Ŷ = Y¹ - Y²）を用いて系をデカップリングし、解析に適した形に還元する。
• 条件（BF）および（wAB）の下で、定理2.14を適用して存在および一意性を検証する。ここで（wAB）は正に張るベクトルを介して有界性を保証する。
• 局所化の議論と、局所 Hölder 空間における終値条件の有界性を用いて、解過程を制御する。
• 二次形式およびベクトルの張る空間条件の明示的計算を通じて、変換後の生成子が要件を満たす（BF）および（wAB）であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終値条件の小規模性を要件としない状況下で、二次生成子を有するマルコフ型BSDE系のグローバルな存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 生成子にどのような構造的条件が、多次元二次ケースにおける可解性を保証するか？
• RQ3 リャプノフ関数をどのように用いて、事前推定を構築し、解過程におけるサブmartingale性を保証できるか？
• RQ4 このような系は、どのような金融的および幾何的文脈で自然に生じるか？ また、グローバルに解けるか？
• RQ5 このフレームワークは、非マルコフ型または超二次型のケースへ拡張可能か？ それとも本質的制限があるか？

主な発見

• 生成子がリャプノフ関数条件および事前局所有界性条件を満たす限り、系は一意な有界連続解を有する。
• 終値条件が局所 Hölder 空間に属する場合に、L∞ノルムにおける小規模性を要件とせず解が存在することを示し、先行研究における主要な制限を克服した。
• リャプノフ関数の存在により、解過程が確率的に有界のままであることが保証され、局所化技術の適用が可能になる。
• 本フレームワークは、終値条件が二次BSDE系に還元される不完全金融市場における確率的均衡に適用可能である。
• 非ゼロ和確率ゲームの文脈では、本手法により明示的な価値関数が指数関数的形で表されるナッシュ均衡が得られる。
• 変換後の系（5.13）は条件（BF）および（wAB）を満たしており、θ > 1の場合（4本の張るベクトルを伴う）でも定理2.14により存在および一意性が確認される。