[論文レビュー] A class of ${ m II_1}$ factors with an exotic abelian maximal amenable subalgebra

Cyril Houdayer|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、任意の実ヒルベルト空間上の ℤ の混合直交表現に対して、自由ボゴリューボフ作用を用いて構成される半単純交叉因子における群フォン・ノイマン代数 L(ℤ) が、最大アーベル的であることを確立する。これにより、粗い双モジュールから離れる、非可算個の非同型なエキゾチックな A-A-双モジュールが得られ、これらは II₁ 因子内の最大アーベル的マサ A に対して L²(M⊖A) として実現される。

ABSTRACT

We show that for every mixing orthogonal representation $π: \Z o \mathcal O(H_\R)$, the abelian subalgebra $\LL(\Z)$ is maximal amenable in the crossed product ${ m II}_1$ factor $Γ(H_\R)\dpr times_π\Z$ associated with the free Bogoljubov action of the representation $π$. This provides uncountably many non-isomorphic $A$-$A$-bimodules which are disjoint from the coarse $A$-$A$-bimodule and of the form $\LL^2(M \ominus A)$ where $A \subset M$ is a maximal amenable masa in a ${ m II_1}$ factor.

研究の動機と目的

• 既知の例（生成子や径向マサなど）とは異なる、II₁ 因子における最大アーベル的マサの新しい例を構成すること。
• II₁ 因子における最大アーベル的マサ A⊂M に対応する双モジュール L²(M⊖A) の構造を調査すること。
• このような双モジュールのスペクトル測度クラスとして現れる 𝕋² 上の測度類はどのようなものかを特定すること。
• 非可算個の非同型な例を構成することで、双モジュール構造がエキゾチック（粗い双モジュールから離れる）であることを示すこと。

提案手法

• 可分な実ヒルベルト空間 Hℝ に対して、自由ガウス関手を用いて II₁ 因子 Γ(Hℝ)′′ を関連付ける。
• 混合直交表現 π:ℤ→O(Hℝ) によって誘導される自由ボゴリューボフ作用を用いて、II₁ 因子 M = Γ(Hℝ)′′ ⋊π ℤ を構成する。
• Popa の漸近的直交性性質を、L(ℤ) の最大アーベル性の十分条件として適用する。
• ユニタリ表現 π のスペクトル的性質を解析することで、L(ℤ) が漸近的直交性性質を満たすことを確立する。
• 互いに台が不交な非可算個のラージマン測度の存在を用いて、異なる双モジュール構造を生成する。
• 2ℕ から Prob(𝕋) へのボレル写像 x↦μₓ を定義し、関連する測度 μₓ∞ が互いに特異的となるようにすることで、非同型な A-A-双モジュールを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 II₁ 因子における最大アーベル的マサは、生成子、径向マサ、カップマサの他に構成可能か？
• RQ2 最大アーベル的マサ A⊂M に対応する双モジュール L²(M⊖A) のスペクトル測度クラスとして現れる 𝕋² 上の測度類はどのようなものか？
• RQ3 粗い A-A-双モジュールから離れる、非可算個の非同型な A-A-双モジュールは存在するか？
• RQ4 混合表現からの自由ボゴリューボフ作用によって得られる交叉因子において、L(ℤ) が漸近的直交性性質を満たすか？
• RQ5 ラージマン測度と独立集合は、エキゾチックな双モジュール構造を構成する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の混合直交表現 π:ℤ→O(Hℝ) に対して、アーベル的部分代数 L(ℤ) は交叉因子 Γ(Hℝ)′′⋊πℤ において最大アーベル的である。
• 本構成により、A=L(ℤ) とし、すべて粗い A-A-双モジュールから離れる、非可算個の非同型な A-A-双モジュールが得られる。
• 双モジュール L²(Mₓ⊖A) に関連する測度類 [ηₓ] は、各 x∈2ℕ に対して 𝕋² 上のハール測度に対して特異的である。
• 測度族 (μₓ∞)ₓ∈2ℕ は互いに特異的であるため、対応する双モジュールは互いに非同型である。
• 双モジュール L²(M⊖A) の構造は、𝕋² 上の測度類 [ηₓ] によって符号化されており、これは特異的でハール測度と同値でない。
• 証明はユニタリ表現のスペクトル理論と、互いに台が不交な非可算個の原子を持たないラージマン測度の存在に依拠している。