[論文レビュー] A class of spatio-temporal and causal stochastic processes, with application to multiscaling and multifractality

Jürgen Schmiegel, Ole E. Barndorff–Nielsen+1 more|ArXiv.org|Dec 13, 2005

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 14被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、独立に散乱するLévy確率測度に基づく、因果的で空間時間的確率過程の一般クラスを導入し、n点相関の正確な解析的計算を可能にする。多スケーリング過程がべき則2点相関から導かれる場合、大規模極限において積分モーメントが $ l^{-\mu(n)} $ に比例するスケーリングを示し、厳密な漸近的解析と誤差境界により、その多Fractal性が確認される。

ABSTRACT

We present a general class of spatio-temporal stochastic processes describing the causal evolution of a positive-valued field in space and time. The field construction is based on independently scattered random measures of Levy type whose weighted amplitudes are integrated within a causality cone. General n-point correlations are derived in closed form. As a special case of the general framework, we consider a causal multiscaling process in space and time in more detail. The latter is derived from, and completely specified by, power-law two-point correlations, and gives rise to scaling behaviour of both purely temporal and spatial higher-order correlations. We further establish the connection to classical multifractality and prove the multifractal nature of the coarse-grained field amplitude.

研究の動機と目的

• 空間時間的確率過程を、所望の相関構造を有する包括的で因果的なフレームワークとしてモデル化すること。
• 既存の多Fractalおよび多スケーリングモデルを、連続的で因果的かつ空間的に拡張された過程へと拡張すること。
• このような過程における粗粒度化された場の振幅の多Fractalスケーリング行動を解析的に導出し、検証すること。
• 一般化された融合則を通じて、べき則2点相関と高次スケーリングとの間の関係を確立すること。
• 大規模極限におけるn点相関積分の近似の誤差に対して、厳密な誤差解析を提供すること。

提案手法

• 因果性のコーン（アービット集合）上での重み付き振幅のLévy基底の積分による過程の構築により、時間的および空間的因果性を保証する。
• Lévy型の独立に散乱する確率測度の使用により、特定の実現に依存しない一般化可能なn点相関構造を保証する。
• 順序付き時間/空間区間における再帰的積分を用いたn点相関の閉形式表現の導出。
• 一般化された融合則の適用により、n点相関関数をイベント間距離のべき則項の積として表現する。
• 積分モーメント $ M_n^{(s)}(x,l) $ の漸近的解析により、大規模極限で $ \tilde{M}_n(l) \propto l^{-\mu(n)} $ となることが示される。
• 距離 $ < l_{\text{scal}} $ の無視された積分をバウンディングすることで誤差推定を行い、$ n > \mu(n) $ の下で $ l \to \infty $ のとき相対誤差が消えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的に取り扱えるn点相関を有する、一般化された因果的空間時間的確率過程を構築することは可能か？
• RQ2 べき則2点相関から、時間的および空間的相関における多スケーリング行動をどのように導出できるか？
• RQ3 粗粒度化された場の振幅が、このような過程で多Fractalスケーリングを示すための条件は何か？
• RQ4 n点相関積分の大規模近似の精度はどの程度で、相対誤差の漸近的挙動は何か？
• RQ5 導出された相関構造とスケーリング指数を用いて、この過程の多Fractal性を厳密に証明できるか？

主な発見

• n点相関関数は、順序付き時間/空間区間における再帰的積分を用いて閉形式で導出され、一般化された融合則によってその構造が決定される。
• 積分モーメント $ \tilde{M}_n(l) $ は大規模極限において $ l^{-\mu(n)} $ に漸近的に比例する。これは多Fractalスケーリング行動を確認するものである。
• 相対誤差は $ l \to \infty $ のとき消える。これは $ n > \mu(n) $ を満たすためであり、$ l^n M_n^{(s)}(x,l) $ の単調性により成立する。
• スケーリング指数 $ \mu(n) $ は $ \mu(n) = \tau(2) \frac{\mathrm{K}[n] - n\mathrm{K}[1]}{\mathrm{K}[2] - 2\mathrm{K}[1]} $ として表され、これにより下位のLévy基底の構造と関連づけられる。
• 粗粒度化された場の振幅の多Fractal性は、$ \tilde{M}_n(l) \propto l^{-\mu(n)} $ かつ $ \mu(n) $ が $ n $ に対して非線形であることを示すことで証明され、多Fractal性の特徴的性質である。
• 小スケール統計が有限であれば、結果はそれらに依存せず、大規模スケーリング行動の堅牢性が保証される。