[論文レビュー] A class of strong diamond principles

Joel David Hamkins|ArXiv.org|Nov 26, 2002

Advanced Topology and Set TheoryMathematics参考文献 10被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、可縮性、弱コンパクト、アンフォールド可能基数といった弱い大基数概念へ一般化された、強化されたダイヤモンド原則—Laverダイヤモンド原則—を導入し、調査する。これらの原則は、Laver関数を用いて任意の集合を実現する埋め込みを許容するが、大基数性質とは独立に成立または失敗しうることを示しており、新たな組合せ的特徴づけとフォースィングの可能性を提供する。

ABSTRACT

In the context of large cardinals, the classical diamond principle Diamond_kappa is easily strengthened in natural ways. When kappa is a measurable cardinal, for example, one might ask that a Diamond_kappa sequence anticipate every subset of kappa not merely on a stationary set, but on a set of normal measure one. This is equivalent to the existence of a function l:kappa-->V_kappa such that for any A in H(kappa+) there is an embedding j:V-->M having critical point kappa with j(l)(kappa)=A. This and similar principles formulated for many other large cardinal notions, including weakly compact, indescribable, unfoldable, Ramsey, strongly unfoldable and strongly compact cardinals, are best conceived as an expression of the Laver function concept from supercompact cardinals for these weaker large cardinal notions. The resulting Laver diamond principles can hold or fail in a variety of interesting ways.

研究の動機と目的

• スーパーコンパクト基数に対してのみ定義されていたLaver関数の概念を、可縮性、弱コンパクト、アンフォールド可能基数といった弱い大基数概念へ一般化すること。
• 集合の測度1の部分集合または初等的埋め込みによる予測を要請することで、$\Diamond_\kappa$ を強化する新しい強いダイヤモンド原則 $\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\star}_{\kappa}$ を定式化・分析すること。
• これらのLaverダイヤモンド原則が古典的ダイヤモンド原則および互いに独立であるか、特にフォースィング拡大においてその整合性と独立性を調査すること。
• 特に可縮性および $\theta$-スーパーコンパクト基数の文脈において、大基数性質を保ちながらこれらの原則をフォースで失敗させられるかを特定すること。
• 弱コンパクト基数において、Laverダイヤモンド原則と $\Diamond_\kappa(\text{Reg})$ の論理的関係を明確にすること。

提案手法

• 可縮性基数 $\kappa$ に対して、$\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\text{meas}}_{\kappa}$ を、任意の $A \in H(\kappa^+)$ に対して、臨界点が $\kappa$ である初等的埋め込み $j: V \to M$ が存在し、$j(\ell)(\kappa) = A$ となる関数 $\ell: \kappa \to V_\kappa$ の存在として定義する。
• 弱コンパクト、記述不能、アンフォールド可能、ラムゼー、強くアンフォールド可能、強くコンパクトな基数に対し、それぞれの基数の特徴的な超構造または埋め込み性質に適合した、埋め込みに基づく予測条件を用いてこの枠組みを拡張する。
• 部分関数 $\ell \upharpoonright \gamma$ の再帰的構成を用いてLaver関数を構築し、各段階 $\gamma$ において、将来の埋め込みによる実現を保つように $\ell(\gamma)$ の値を選択する。
• クラスフォースィングおよび大基数を保存するフォースィング拡大を用いて、$\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\star}_{\kappa}$ が失敗しうることを示す。
• Hauser (1992) および Dzamonja–Hamkins の結果を活用し、弱コンパクトまたは $\Pi^m_n$-記述不能基数を保存しながら $\neg\Diamond_\kappa(\text{Reg})$ をフォースで得ることで、Laverダイヤモンド原則がそのようなモデルで失敗しうることを示す。
• モデル理論的およびフォースィング的議論を用いて、特に弱コンパクト基数の文脈において、$\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\star}_{\kappa}$ と $\Diamond_\kappa(\text{Reg})$ の関係を評価し、同等性または分離性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱コンパクト基数 $\kappa$ に対して、Laverダイヤモンド原則 $\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\text{wc}}_{\kappa}$ は $\Diamond_\kappa(\text{Reg})$ と同値か？
• RQ2 クラスフォースィングより破壊性が低いフォースィングを用いて、可縮性基数 $\kappa$ に対して $\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\text{meas}}_{\kappa}$ の失敗を強制できるか？
• RQ3 $\kappa$ が $\theta$-スーパーコンパクトで $\kappa < \theta$ であるが、$\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\theta\text{-sc}}_{\kappa}$ が失敗する可能性は相対的に整合的か？
• RQ4 $P_\kappa\theta$ 上の正規の細い測度の数を $2^\theta$ より少なくできるか、$\theta$-スーパーコンパクト性を保存したままにできるか。その場合、$\theta$-スーパーコンパクトLaverダイヤモンド原則の失敗が示唆される。
• RQ5 強くアンフォールド可能基数およびラムゼー基数に対するLaverダイヤモンド原則も、大基数性質を保存したままフォースィングによって独立に失敗しうるか？

主な発見

• 可縮性基数に対して、Laverダイヤモンド原則 $\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\text{meas}}_{\kappa}$ は、任意の $A \in H(\kappa^+)$ に対して、臨界点が $\kappa$ である初等的埋め込み $j: V \to M$ が存在し、$j(\ell)(\kappa) = A$ となる関数 $\ell: \kappa \to V_\kappa$ の存在と同値である。
• 古典的ダイヤモンド原則 $\Diamond_\kappa(\text{Reg})$ は可縮性基数に対しては必ず成立するが、$\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\text{meas}}_{\kappa}$ は失敗しうる。これにより、可縮性の文脈においてLaverダイヤモンド原則が $\Diamond_\kappa(\text{Reg})$ よりも厳密に強いことが示される。
• Hauserの結果を用いることで、$\kappa$ が弱コンパクトであるが $\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\text{wc}}_{\kappa}$ が失敗する相対的に整合的であることが示される。これは、弱コンパクト性を保存しながら $\neg\Diamond_\kappa(\text{Reg})$ をフォースで得られるからである。
• 強くアンフォールド可能基数に対しては、DzamonjaとHamkinsが、大基数性質を保存するフォースィング拡大においても $\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\text{sunf}}_{\kappa}$ が失敗しうることを示している。
• 大基数の存在だけではLaver関数の存在は保証されない。これは、大基数の存在とは独立して成立または失敗しうる、新たな組合せ的原理である。
• $\theta$-スーパーコンパクト基数 $\kappa$ に対して $\mathop{\hbox{\textasciitilde}}^{\theta\text{-sc}}_{\kappa}$ が失敗することは、$P_\kappa\theta$ 上の正規の細い測度が $2^\theta$ 個未満である場合に示唆される。これは、特定のフォースィング条件下で整合的である可能性がある。