[論文レビュー] A Cosmological Sector in Loop Quantum Gravity

Tim Koslowski|ArXiv.org|Nov 7, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、微分同型不変性と対称性削減を保ちつつ、量子埋め込みを用いて完全なループ量子重力（LQG）から宇宙論的領域を体系的に抽出する手法を提案する。この手法により、等方的モデルが円上の量子力学に還元され、μ₀パラメータを有しない独自の演算子代数を持つ。これは、幾何的状態選択による動的病理の解消を可能にする新しい枠組みを提供する。

ABSTRACT

We use the method of embedding a subsystem (i.e. its observable algebra) into a larger quantum system to extract a cosmological sector from full Loop Quantum Gravity. The application of this method provides a setting for a systematic study of the interplay between diffeomorphism invariance and symmetry reduction. The non-triviality of this relation is shown by extracting a cosmological system that has configurations variables that are very similar to the ones of a super-selection sector of standard Loop Quantum Cosmology. The full operator algebra however turns out to be different from standard Loop Quantum Cosmology. The homogeneous isotropic sector of pure gravity turns out to be quantum mechanics on a circle. The dynamics of our system seems pathological at first sight, and we give both mathematical and physical reasons for this behavior and we explain a strategy to cure these pathologies.

研究の動機と目的

• 完全なループ量子重力（LQG）から対称的宇宙論的領域を、古典的対称性削減に依存せずに、厳密な量子理論的手法で抽出すること。
• 標準的ループ量子宇宙論（LQC）が完全なLQGとどのように関係するかの曖昧さ、特にμ₀パラメータと演算子代数に関する問題を解消すること。
• 微分同型不変性と幾何的均一性を尊重し、退化幾何の過剰表現を回避する宇宙論的領域を構築すること。
• 完全なLQGの動的性質と整合する、縮約系における動的定式化の枠組みを提供すること。
• 物理的整合性を高めるために、量子埋め込みの摂動的拡張と幾何的精錬を可能にする基盤を構築すること。

提案手法

• C*-代数フレームワークとワイル代数の適応を用いて、完全なLQGから縮約された宇宙論的系への量子埋め込みを定式化する。
• 拡張された微分同型変換に対してゲージ固定手続きを適用し、物理的一致性を保つためにそれらを群ガロイドとして扱う。
• スカーフグラフ上の円形関数を、均一な接続自由度に依存する関数に割り当てる量子埋め込み写像Pを構築する。
• ガウスおよび微分同型制約を、ゲージ不変な円形関数への埋め込みの定義域と値域の制限によって課す。
• U(1)-ヒッグス場などの物質場を含めるために、それらの依存関係を埋め込み写像に組み込む。
• 退化幾何から生じる誤った解を排除するために、状態空間における幾何的均一性を強制する、量子埋め込みの幾何的精錬を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なループ量子重力（LQG）から微分同型不変性と対称性削減を保ちつつ、宇宙論的領域を体系的に抽出する方法は何か？
• RQ2 縮約された宇宙論的系における演算子代数の正確な構造は何か？標準的ループ量子宇宙論（LQC）とはどのように異なるか？
• RQ3 なぜ完全な理論から誘導される単純な動的性質が病理的な過剰制約解を生じるのか？そして、これをどのように是正できるか？
• RQ4 縮約領域において退化幾何の過剰表現を避けることができる幾何的量子埋め込みを構築できるか？
• RQ5 この宇宙論的領域の動的性質を、特にμ₀の曖昧さに関して、標準的ループ量子宇宙論（LQC）とどの程度まで整合させられるか？

主な発見

• この構成における純粋重力の等方的宇宙論的領域は、可分なヒルベルト空間と明確に定義された演算子代数を持つ、円上の量子力学に等しい。
• 局所的に回転対称な領域は、可分なヒルベルト空間表現を持つ2次元トーラス上の量子力学として記述される。
• 縮約理論の演算子代数は、標準的LQCとは顕著に異なり、特にμ₀パラメータを欠き、フラックス演算子のスペクトルが可算的である。
• 完全な理論から誘導される単純な動的性質は、退化幾何状態の優位性により、解の過剰な発生を引き起こす。
• 状態空間における幾何的均一性を強制することで、これらの誤った解を排除するための幾何的精錬を、量子埋め込みに提案する。
• この枠組みは、近似量子埋め込みPλ, iλの族を介して摂動的拡張が可能であり、微小非一様性の研究や、階層的な摂動の解析が可能になる。