[論文レビュー] A cubical model for $(\infty, n)$-categories

Tim Campion, Chris Kapulkin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、接続付きマーク付き立方体集合を用いて、$(\infty,n)$-圏の新しいモデルを提示し、laxおよびpseudograph Grayテンソル積と両立するモノイダルモデル構造を確立する。主な貢献は、前-complicial集合への強単位的左Quillen三角化関手の構成であり、既存のモデルとQuillen同値性を示し、導来代数幾何学における基礎的主張の妥当性を裏付ける。

ABSTRACT

We propose a new model for the theory of $(\infty,n)$-categories (including the case $n=\infty$) in the category of marked cubical sets with connections, similar in flavor to complicial sets of Verity. The model structure characterizing our model is shown to be monoidal with respect to suitably defined (lax and pseudo) Gray tensor products; in particular, these tensor products are both associative and biclosed. Furthermore, we show that the triangulation functor to pre-complicial sets is a left Quillen functor and is strong monoidal with respect to both Gray tensor products.

研究の動機と目的

• 接続付き立方体集合とマークを用いて、$(\infty,n)$-圏の新しい、組合せ的に取り扱いやすいモデルを構築すること。
• 立方体的性質を活かして、立方体的設定におけるlaxおよびpseudograph Grayテンソル積を定義・研究すること。
• モノイダル射影が単位的であるような、ファイブレーション対象がcomical集合であるようなマーク付き立方体集合上のモデル構造を構成すること。
• 立方体的集合から単体的集合への三角化関手を構成し、その関手がGrayテンソル積を含む主要なカテゴリカル構造を保存すること。
• 新規の立方体的モデルと、$n$-自明な飽和complicial集合などの既存モデルとの間で、Quillen同値性を確立することにより、高次圏論における基礎的結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 接続付きマーク付き立方体集合を導入し、特定の合成公理を満たすcomical集合をファイブレーション対象として定義する。
• マーク付き立方体集合上でのlaxおよびpseudograph Grayテンソル積を定義し、それらが結合的かつ双閉的であることを示す。
• 単位的射影がモノイダル射であり、ファイブレーション対象がcomical集合であるようなマーク付き立方体集合上のモデル構造を、Olschokの組合せ的モデル構造フレームワークを用いて構成する。
• 標準的な三角化関手$T$を立方体集合からマーク付き立方体集合へ拡張し、pre-complicial集合の圏への写像を定める。
• 三角化関手$T$が、両方のGrayテンソル積に関して強単位的であることを証明し、それらの代数的性質を保存することを示す。
• 三角化関手$T$が左Quillen関手であることを示し、立方体的モデルとcomplicialモデルとの間でQuillen同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 laxおよびpseudograph Grayテンソル積を自然に扱える立方体的$(\infty,n)$-圏のモデルを構築することは可能か？
• RQ2 マーク付き立方体集合からpre-complicial集合への三角化関手が、Grayテンソル積構造を保存するか？
• RQ3 comical集合による$(\infty,n)$-圏の提案モデルが、laxおよびpseudograph積の両方と両立するモノイダルモデル構造を持つか？
• RQ4 三角化関手が立方体的モデルと標準的なcomplicialモデルとの間でQuillen同値性を果たすか？
• RQ5 新規の立方体的構成が、$(\infty,2)$-圏に関する導来代数幾何学における以前未解決の主張を妥当化するか？

主な発見

• 接続付きマーク付き立方体集合の圏は、単位的射影がモノイダル射であり、ファイブレーション対象がcomical集合であるような組合せ的モデル構造を備える。
• このモデルにおけるlaxおよびpseudograph Grayテンソル積は、両方とも結合的かつ双閉的であり、モデルがモノイダルであることを示す。
• 三角化関手$T: \text{cSet}^+ \to \text{PreComp}$は、両方のGrayテンソル積に関して強単位的であり、それらの代数的性質を保存する。
• 三角化関手は左Quillen関手であり、立方体的モデルと$n$-自明な飽和complicialモデル構造との間でQuillen同値性を確立する。
• 本モデルは、[GR17a]における$(\infty,2)$-圏に関する基礎的主張を、具体的かつ同値な枠組みを提供することで妥当化する。
• 三角化関手を介して、本モデルは$n$-自明な飽和complicial集合とQuillen同値であることが[DKM23]で確認され、$n=0,1$の初期結果を拡張する。