[論文レビュー] A de Casteljau Algorithm for Bernstein type Polynomials based on (p, q)-integers in CAGD.

Khalid Khan, D. K. Lobiyal|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、(p,q)-整数を用いた(de Casteljau)アルゴリズムを導入し、(p,q)-Bernstein Bezier曲線を計算するものであり、古典的Bezier曲線を一般化し、次数上昇および次数低下を可能にする。この手法は[0,1]×[0,1]上でのテンソル積曲面へと拡張可能であり、p₁ = p₂ = 1のときq-Bezier曲線を回復する。また、q-Bezier曲線と類似した重要な幾何的性質を保持する。

ABSTRACT

In this paper, a de Casteljau algorithm to compute (p,q)-Bernstein Bezier curves based on (p,q)-integers is introduced. We study the nature of degree elevation and degree reduction for (p,q)-Bezier Bernstein functions. The new curves have some properties similar to q-Bezier curves. Moreover, we construct the corresponding tensor product surfaces over the rectangular domain (u, v) \in [0, 1] imes [0, 1] depending on four parameters. We also study the de Casteljau algorithm and degree evaluation properties of the surfaces for these generalization over the rectangular domain. Furthermore, some fundamental properties for (p,q)-Bernstein Bezier curves are discussed. We get q-Bezier curves and surfaces for (u, v) \in [0, 1] imes [0, 1] when we set the parameter p1 = p2 = 1.

研究の動機と目的

• CAGDにおける(p,q)-整数に基づく(de Casteljau)アルゴリズムを用いた(p,q)-Bernstein Bezier曲線の開発を目的とする。
• (p,q)-Bezier関数における次数上昇および次数低下の性質を検討すること。
• (p,q)-整数を用いて四つのパラメータを導入することで、古典的Bezier曲線および曲面を一般化すること。
• 新規の基底関数を用いて、長方形領域[0,1]×[0,1]上でのテンソル積曲面を構築すること。
• p₁ = p₂ = 1に設定した場合に標準的q-Bezier曲線および曲面を回復すること。

提案手法

• (p,q)-整数を基盤として用い、再帰的評価のための(de Casteljau)アルゴリズムを(p,q)-Bernstein Bezier曲線に適応する。
• 再帰的分割を(p,q)-整数パラメータに基づいて用い、反復的に曲線上の点を計算する手法を採用する。
• 制御点に再帰的変換則を適用することで、次数上昇および次数低下を解析する。
• 2変数の[0,1]×[0,1]上での(p,q)-Bernstein基底関数への拡張により、テンソル積曲面を構築する。
• アルゴリズムはq-Bezier曲線と類似した幾何的性質（形状保存性、収束性など）を維持する。
• p₁ = p₂ = 1のとき、フレームワークは標準的q-Bezier曲線および曲面に還元され、先行研究と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (p,q)-整数を用いた(de Casteljau)アルゴリズムは、どのように(p,q)-Bernstein Bezier曲線に一般化できるか？
• RQ2 (p,q)-Bezier曲線の文脈における次数上昇および次数低下の性質は何か？
• RQ3 (p,q)-Bernstein Bezier曲線は、q-Bezier曲線と比較して幾何的挙動においてどのように異なるか？
• RQ4 [0,1]×[0,1]上での(p,q)-Bernstein基底関数から構築されたテンソル積曲面の構造および挙動は何か？
• RQ5 (p,q)-Bezier曲線が古典的q-Bezier曲線に還元される条件は何か？

主な発見

• (p,q)-Bernstein Bezier曲線の(de Casteljau)アルゴリズムが(p,q)-整数を用いて成功裏に構築され、曲線上の点の再帰的評価が可能になった。
• (p,q)-Bezier関数における次数上昇および次数低下の操作が定義され、解析された。曲線の形状および収束性が保持された。
• (p,q)-Bernstein Bezier曲線は、q-Bezier曲線と同様に、凸包性および変動減少性といった重要な幾何的性質を継承する。
• 四つのパラメータを(p,q)-整数から導出することで、[0,1]×[0,1]上にテンソル積曲面が構築され、2次元線形曲面形式が一般化された。
• p₁ = p₂ = 1のとき、(p,q)-Bezier曲線および曲面は正確に標準的q-Bezier曲線および曲面に還元され、一般化の妥当性が裏付けられた。
• 本手法は、追加パラメータ(p,q)による制御強化を可能とする、形状設計に柔軟なフレームワークを提供する。