[論文レビュー] A few recent developments in 2d (2,2) and (0,2) theories

Eric Sharpe|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 71被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、2次元(2,2)および(0,2)超対称ゲージ理論における最近の進展をレビューし、量子シーブコhomology、(0,2)ミラー対称性、Seiberg類の双対性（同じ赤外幾何の異なる実現）および、質量ゼロの物質に自明に作用する部分群を伴うゲージ理論（離散θ角でラベル付けされた不連続な成分に分解）を扱う。さらに、特に非ケーラー幾何におけるヒエラルチックコンパクト化における無限小モジュライの数え上げに関する進展についても議論しており、現在の結果ではHフラックスおよびバンドル曲率によって定まる特定の拡張のコホモロジー群を通じてモジュライが過剰に数え上げられている。

ABSTRACT

In this note we summarize a few of the many recent developments in two-dimensional quantum field theories. We begin with a review of the current state of quantum sheaf cohomology, a heterotic analogue of quantum cohomology. We then turn to dualities: we outline the current status of (0,2) mirror symmetry, and then outline recent work on two-dimensional gauge dualities. In particular, we describe how many two-dimensional gauge dualities in both (2,2) and (0,2) supersymmetric gauge theories can be understood simply as different presentations of the same infrared (IR) geometry. We then discuss (not necessarily supersymmetric) two-dimensional nonabelian gauge theories in which a subgroup of the gauge group acts trivially on massless matter. We describe how these theories 'decompose' into disjoint unions of other theories indexed by discrete theta angles, a fact which in other contexts has proven to have implications for interpretations of certain gauged linear sigma models (GLSMs) and for Gromov-Witten invariants of stacks. We conclude with a discussion of recent developments in infinitesimal moduli of heterotic compactifications.

研究の動機と目的

• 2次元(2,2)および(0,2)超対称ゲージ理論における最近の発展を、特にヒエラルチカルストリングコンパクト化の文脈で要約すること。
• 量子シーブコhomologyが、ゲージバンドルが接バンドルからずれた場合の物質カップリングへの非摂動的補正をエンコードするものとして、ヒエラルチカルコホモロジーの類似物として果たす役割を明確にすること。
• 2次元(2,2)および(0,2)理論におけるSeiberg類の双対性が、同じ赤外幾何の異なる表現として生じることを説明し、これにより新しい双対性の予測が可能になること。
• ゲージ群の有限部分群が質量ゼロの物質に自明に作用する非アーベルゲージ理論について分析し、それらが離散θ角でラベル付けされた不連続な成分に分解されることを示すこと。
• カルビ＝ヤウおよび非ケーラーの場合を含むヒエラルチカルコンパクト化における無限小モジュライの理解に関する現在の進展をレビューし、特にHフラックスおよびバンドル曲率を含む拡張のコホモロジー群を通じた過剰数え上げに焦点を当てる。

提案手法

• 量子シーブコホモロジーは、曲線のモジュライ空間上の層コホモロジーとして定式化され、ch₂(E) = ch₂(TX) および det(E*) ≅ K_X を満たす正則ベクトルバンドルEを組み込むことで、量子コホモロジーを一般化する。
• 論文は、世界面解析およびトポロジカル場理論を用いて、ヒエラルチカルコンパクト化における非摂動的補正を研究し、特に(2,2)系ではAモデル計算およびGromov-Witten不変量を用いる。
• Seiberg類の双対性は、同じ赤外固定点幾何の異なるUV記述として解釈され、幾何的およびコホモロジー的データを用いて双対理論を同定する。
• ゲージ群の有限部分群が物質に自明に作用するゲージ理論では、理論は離散θ角でラベル付けされたセクターの不連続な直和に分解され、その分解はゲージ群の構造と物質場への作用に由来する。
• 非ケーラーコンパクト化では、無限小モジュライはH¹(S′)によって過剰に数え上げられる。ここでS′はHフラックスおよびゲージバンドル・接バンドルの曲率によって定まる拡張であり、拡張類はExt¹(TX, T*X)またはEnd(E)とTXを含むより複雑な拡張に属する。
• 論文は、非接バンドル系では単純な周期的またはピカール＝フック法が失敗することをレビューし、量子シーブコホモロジーにおける新しい計算技術の必要性を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージバンドルが接バンドルからずれた場合、ヒエラルチカルコンパクト化における量子シーブコホモロジーは、量子コホモロジーをどのように一般化するか？
• RQ2 2次元(2,2)および(0,2)理論におけるSeiberg類の双対性は、同じ赤外幾何の異なるUV実現としてどの程度理解可能か？
• RQ3 有限部分群が物質に自明に作用する2次元ゲージ理論が離散θ角でラベル付けされた不連続な成分に分解されることの物理的および数学的意味は何か？
• RQ4 非摂動的補正は、特に非ケーラー幾何において、ヒエラルチカルコンパクト化のモジュライ空間にどのように影響を与えるか？
• RQ5 Hフラックスが非ゼロで非ケーラーな背景の場合、ヒエラルチカルコンパクト化における無限小モジュライの正しいコホモロジー的記述は何か？

主な発見

• 量子シーブコホモロジーは、ゲージバンドルが接バンドルからずれた場合のヒエラルチカルコンパクト化における物質カップリングへの非摂動的補正を計算するための正しい枠組みを提供し、Gromov-Witten不変量の代わりに計算ツールとして機能する。
• (2,2)領域ではE = TXのとき、量子シーブコホモロジーは通常の量子コホモロジーに還元され、Gromov-Witten不変量の標準的なAモデル計算が回復される。
• 2次元(2,2)および(0,2)理論における多くのSeiberg類の双対性は、新しい双対性ではなく、同じ赤外幾何の異なるUV記述に過ぎないことが判明し、幾何的整合性を通じて新しい双対性の予測が可能になる。
• ゲージ群の有限部分群が質量ゼロの物質に自明に作用する2次元非アーベルゲージ理論では、理論は離散θ角でラベル付けされたセクターの不連続な直和に分解され、その分解はゲージ群作用の位相的構造に由来する。
• 非ケーラーなヒエラルチカルコンパクト化では、無限小モジュライはH¹(S′)によって過剰に数え上げられる。ここでS′は拡張0 → T*X → S′ → Q′ → 0に適合し、Q′はEnd(E) ⊕ End(TX)とTXを含む拡張によって定義され、拡張類は曲率およびHフラックスによって決定される。
• 現在の最先端技術では、α′の1次までモジュライが過剰に数え上げられており、今後の作業では数え上げの精錬およびα′の高次の項への拡張が進められている。