[論文レビュー] A Geometric Distance Oracle for Large Real-World Graphs

Deepak Ajwani, W. Sean Kennedy+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、大規模な実世界グラフにおける高速かつ高精度な距離推定を可能にする、幾何的距離オラクルを提案する。この手法は、双曲的コアと、高中央性ノードをルートとするスパニングツリーを活用し、従来のツリー基盤または埋め込み基盤のオラクルと比較して顕著に低い推定誤差を達成する。ノードの次数と中央性を優先することで、サブ2次関数の事前処理時間とクエリ時間で、高い精度を実現する。

ABSTRACT

Many graph processing algorithms require determination of shortest-path distances between arbitrary numbers of node pairs. Since computation of exact distances between all node-pairs of a large graph, e.g., 10M nodes and up, is prohibitively expensive both in computational time and storage space, distance approximation is often used in place of exact computation. In this paper, we present a novel and scalable distance oracle that leverages the hyperbolic core of real-world large graphs for fast and scalable distance approximation. We show empirically that the proposed oracle significantly outperforms prior oracles on a random set of test cases drawn from public domain graph libraries. There are two sets of prior work against which we benchmark our approach. The first set, which often outperforms other oracles, employs embedding of the graph into low dimensional Euclidean spaces with carefully constructed hyperbolic distances, but provides no guarantees on the distance estimation error. The second set leverages Gromov-type tree contraction of the graph with the additive error guaranteed not to exceed $2δ\log{n}$, where $δ$ is the hyperbolic constant of the graph. We show that our proposed oracle 1) is significantly faster than those oracles that use hyperbolic embedding (first set) with similar approximation error and, perhaps surprisingly, 2) exhibits substantially lower average estimation error compared to Gromov-like tree contractions (second set). We substantiate our claims through numerical computations on a collection of a dozen real world networks and synthetic test cases from multiple domains, ranging in size from 10s of thousand to 10s of millions of nodes.

研究の動機と目的

• 数百万ノードに達する大規模グラフにおける正確な最短経路距離計算の計算およびストレージのボトルネックを解消すること。
• 低コストの事前処理、最小限のストレージ、高速なクエリ応答、高精度な距離推定を両立する距離オラクルを開発すること。
• 理論的に根拠を持つツリー近似と、実験的に高い精度を示すヒューリスティックオラクルの間のギャップを、実世界グラフの双曲的構造を活用することで埋めること。
• 双曲的コアにルートを持つスパニングツリーが、明示的な双曲的埋め込みやGromov型ラベル化を用いなくても、既存の手法と比較して優れた近似精度を示すことを実証すること。

提案手法

• ノードの中央性を次数によって近似することで、ノード中央性に基づいて優先度を付与した幅優先探索（BFS）スパニングツリーを構築し、グラフの双曲的コアを標的とする。
• 実世界グラフに内在する双曲的性質（固定割合の最短経路が小さなコアノード集合を通過する）を活用することで、ツリー内に多数の距離が正確に保持されることを保証する。
• ツリーの高さはO(log n)で抑えられ、O(n log n)ビットのストレージで経路長を符号化することで、O(log n)時間で距離クエリが可能となる。
• 双曲的埋め込みやGromov型ツリー圧縮を回避し、負の曲率とコアに基づくツリー近似に根ざした幾何的直観に依存する。
• 多様な高中央性ノードをルートとする複数のBFSツリーとGromovツリーを組み合わせ、近似範囲を狭める。min/maxバウンディングを用いて推定値を精緻化する。
• オラクルはO(log n)のクエリ時間とO(n log n)の事前処理時間を実現し、動的グラフに対してもスケーラブルである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実世界グラフの双曲的コアにルートを持つスパニングツリーに基づく距離オラクルは、低コストの事前処理と高い精度を両立できるか？
• RQ2 双曲的埋め込みやGromov型ツリー圧縮と比較して、コアにルートを持つBFSツリーの近似誤差は、実世界グラフにおいてどの程度低いか？
• RQ3 中央性の代理としてノードの次数を用いることで、ツリー基盤の距離オラクルのロバスト性と精度はどの程度向上するか？
• RQ4 複数のBFSツリーとGromovツリーを組み合わせることで、最小限のオーバーヘッドで近似範囲を狭められるか？
• RQ5 δ-双曲的グラフの幾何的構造は、ヒューリスティック的または埋め込み基盤の手法よりも、本質的に優れた距離近似を可能にするか？

主な発見

• 同程度の誤差レベルであっても、双曲的埋め込み基盤のオラクルと比較して、本手法は速度面で顕著に優れている。
• 理論的加法的誤差バウンディング2δ log nを保証するGromov型ツリー圧縮と比較しても、平均推定誤差が著しく低い。
• 数万から数百万ノードに達する実世界グラフにおいて、O(log n)のクエリ時間、O(n log n)の事前処理およびストレージで高速かつ高精度な性能を達成する。
• 10本のHyper-BFSツリーと20本のGromovツリーを用いるだけで、SantaBarbara Facebookグラフにおいて近似範囲の幅が顕著に縮小される。
• 低コストの事前処理のおかげで、動的グラフに対しても効率的であり、更新頻度の高いシナリオではRigelのようなオラクルを上回る性能を示す。
• 本手法の成功は、実世界ネットワークにおける双曲的コアと、ノード次数と中央性の強い相関関係に強く関連している。