[論文レビュー] A Hamiltonian $\coprod\limits_n BO(n)$-action, stratified Morse theory and the $J$-homomorphism

Xin Jin|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、スペクトラの層を用いて、cotangent bundleの列挙極限 ℝᴺ におけるハミルトニアン ∐ₙBO(n)-作用を量子化し、分岐したモース理論に J-同型写像を組み込む。また、正確なラグランジュ部分多様体上のブレイン構造の分類写像が、安定ガウス写像および J-同型写像のデループ化を経由して因数分解されることを証明し、[JiTr]における主張を (∞,2)-圏の対応関係の高階的圏的構造により解決する。

ABSTRACT

We use sheaves of spectra to quantize a Hamiltonian $\coprod\limits_n BO(n)$-action on $\varinjlim\limits_{N}T^*\mathbf{R}^N$ that naturally arises from Bott periodicity. We employ the category of correspondences developed in [GaRo] to give an enrichment of stratified Morse theory by the $J$-homomorphism. This provides a key step in the following work [Jin] on the proof of a claim in [JiTr]: the classifying map of the local system of brane structures on an (immersed) exact Lagrangian submanifold $L\subset T^*\mathbf{R}^N$ is given by the composition of the stable Gauss map $L ightarrow U/O$ and the delooping of the $J$-homomorphism $U/O ightarrow B\mathrm{Pic}(\mathbf{S})$. We put special emphasis on the functoriality and (symmetric) monoidal structures of the categories involved, and as a byproduct, we produce several concrete constructions of (commutative) algebra/module objects and (right-lax) morphisms between them in the (symmetric) monoidal $(\infty, 2)$-category of correspondences, generalizing the construction out of Segal objects in [GaRo], which might be of interest by its own.

研究の動機と目的

• exact Lagrangian部分多様体上のブレイン構造の層の分類写像が、安定ガウス写像および J-同型写像のデループ化を経由して因数分解することを証明する。
• limₙT*ℝⁿ における量子化されたハミルトニアン ∐ₙBO(n)-作用を構成することで、分岐モース理論に J-同型写像を統合する。
• 対応関係の (∞,2)-圏における対称モノイド的 (∞,2)-圏における (可換) 代数的および加群的対象の明示的構成を発展させる。
• 対応関係上のスペクトラの層の関手的かつモノイド的枠組みを確立し、位相的不変量を伴う幾何的作用の量子化を可能にする。

提案手法

• ボット周期性に由来する、limₙT*ℝⁿ におけるハミルトニアン ∐ₙBO(n)-作用を、スペクトラの層を用いて量子化する。
• GaRo における対応関係の圏を用いて高階的圏的構造をモデル化し、対称モノイド的関手を構成する。
• 局所系に倣ってファイブレートされた Corr(S_LCH) 内の代数的対象上の加群的対象を、層の圏の安定化を用いて構成する。
• モース変換および局所化技術を適用し、異なるストラタ間の層の圏を関連させ、J-同型写像へと安定化する。
• ShvSp における右ラックス対称モノイド的構造を用いて、対応関係全体にわたる代数的および加群的対象データを保存する。
• 極限処理および自然同型を用いて、補助的データ（例：A_S）の選択に依存しない構成の整合性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 limₙT*ℝⁿ におけるハミルトニアン ∐ₙBO(n)-作用を、スペクトラの層を用いてどのように量子化できるか？
• RQ2 J-同型写像は、exact Lagrangian部分多様体上のブレイン構造分類において、どのように果たす役割を果たすか？
• RQ3 対応関係の圏およびその対称モノイド的構造は、 (∞,2)-圏における代数的および加群的対象の構成をどのように促進するか？
• RQ4 幾何的作用の量子化を通じて、分岐モース理論を J-同型写像で強化できるか？
• RQ5 ブレイン構造の層の分類写像が U/O および BJ を経由して因数分解する具体的な形は何か？そして、その証明はどのように行われるか？

主な発見

• exact Lagrangian L ⊂ T*ℝᴺ 上のブレイン構造の層の分類写像は、L → U/O → BPic(𝕊) と因数分解され、2番目の写像は J-同型写像のデループ化である。
• ハミルトニアン ∐ₙBO(n)-作用の量子化により、 (∞,2)-圏における対応関係のなかで代数的対象 VGₙ• 上の加群的対象が得られる。
• Gₙ、VGₙ、および  Q̂ₙ,ₘ の局所系の圏の安定化は、well-defined な極限を生じ、J-同型写像を符号化する。
• 対応関係上の関手 ShvSp_all,all^prop は右ラックス対称モノイド的構造を備え、幾何的データにスペクトラを一貫して割り当てる。
• Corr(S_LCH) 内での代数的および加群的対象の構成は、セガル対象の構成を一般化し、高階圏論における新しい例を提供する。
• モース変換と安定化の整合性により、J-同型写像が幾何的量子化プロセスから自然に生じることが保証される。