[論文レビュー] A Heuristic Method to solve large-scale Integer Linear Programs by combining Branch-and-Price with a Quantum Algorithm

Marika Svensson, Martin Andersson+5 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、大規模な整数線形計画問題、特にTail Assignment問題を解くために、分枝・価格法フレームワークに量子アルゴリズム（特にQAOA）を統合するハイブリッド量子古典的アプローチを提案する。QAOAを用いて部分問題を効率的に解くことで、アルゴリズムの深さを低減し、解の品質を向上させ、多項式的深さの量子回路が実現可能な場合に実用的であることが示された。

ABSTRACT

We present a method that integrates any quantum algorithm capable of finding solutions to integer linear programs into the Branch-and-Price algorithm, which is regularly used to solve large-scale integer linear programs with a specific structure. The role of the quantum algorithm is to find integer solutions to subproblems appearing in Branch-and-Price. Obtaining optimal or near-optimal integer solutions to these subproblems can increase the quality of solutions and reduce the depth and branching factor of the Branch-and-Price algorithm and hence reduce the overall running time. We investigate the viability of the approach by considering the Tail Assignment problem and the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA). Here, the master problem is the optimization problem Set Partitioning or its decision version Exact Cover and can be expressed as finding the ground state of an Ising spin glass Hamiltonian. For Exact Cover, our numerical results indicate that the required algorithm depth decreases with the number of feasible solutions for a given success probability of finding a feasible solution. For Set Partitioning, on the other hand, we find that for a given success probability of finding the optimal solution, the required algorithm depth can increase with the number of feasible solutions if the Hamiltonian is balanced poorly, which in the worst case is exponential in the problem size. We therefore address the importance of properly balancing the objective and constraint parts of the Hamiltonian. We empirically find that the approach is viable with QAOA if polynomial algorithm depth can be realized on quantum devices.

研究の動機と目的

• 大規模な整数線形計画問題を効率的に解くためのハイブリッド量子古典的手法を開発すること。
• 分枝・価格法フレームワーク内の部分問題を解ける量子アルゴリズムを統合すること。
• Tail Assignment問題の文脈において、QAOAを部分問題の解法に用いることの実用性を評価すること。
• ハミルトニアンのバランスが、成功に必要な量子回路の深さに与える影響を分析すること。
• 多項式的深さの量子アルゴリズムが、このハイブリッド手法を実用可能にする条件を特定すること。

提案手法

• 分枝・価格法と量子アルゴリズムを組み合わせ、列生成段階で生じる部分問題を解く。
• マスター問題は、集合分割問題または正確被覆問題としてモデル化され、イジングスピンガラスハミルトニアンの基底状態を求める問題にマッピングされる。
• QAOAを部分問題の解法に用い、目的関数部と制約部のハミルトニアンを慎重にバランスさせることで、必要な回路深さを低減する。
• 妥当解または最適解が得られる確率は、妥当解の数と回路深さの関数として分析される。
• 数値実験により、さまざまな問題条件下で所定の成功確率を達成するために必要なアルゴリズム深さが評価される。
• 本手法は、正確被覆と集合分割問題の両方の定式化を用いて、Tail Assignment問題に対してテストされた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QAOAは、大規模な整数線形計画問題を解くために、分枝・価格法アルゴリズムに効果的に統合可能か？
• RQ2 妥当解の数が、所定の成功確率を達成するために必要な量子回路深さに与える影響は何か？
• RQ3 ハミルトニアンのバランスが悪ければ、最適解の回復に必要なアルゴリズム深さにどのような影響を与えるか？
• RQ4 どのような条件下で、ハイブリッド手法が分枝・価格法の全体的な実行時間を短縮するか？
• RQ5 量子デバイスが多項式的深さの回路しか実現できない場合、この手法は実用的か？

主な発見

• 正確被覆問題では、所定の成功確率で固定された場合、妥当解の数が増加するほど、必要なアルゴリズム深さが減少する。
• 集合分割問題では、ハミルトニアンのバランスが悪いと、妥当解の数が増加するにつれて必要な深さが増加する可能性があり、最悪の場合には指数関数的に増大する。
• 目的関数部と制約部のハミルトニアンを適切にバランスさせることは、必要な量子回路深さを最小化する上で極めて重要である。
• 量子デバイスが多項式的深さの回路を実現できる場合、QAOAを用いたハイブリッド手法は実用的である。
• 本手法は、解の品質を向上させるとともに、分枝・価格法における分岐係数と深さを低減し、収束を加速する可能性がある。
• 数値結果により、回路深さが管理可能な場合、量子部分問題の解法が古典的分解手法の性能を向上させられることを確認した。