[論文レビュー] A-infinity-bimodules and Serre A-infinity-functors

Lyubashenko, Volodymyr, Manzyuk, Oleksandr|ArXiv.org|Jan 5, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、体上の単位的A∞-圏におけるSerre A∞-関手と、そのホモトピー圏におけるSerre k線形関手の間の正確な対応を確立する。A∞-bimoduleを、k-加群の複体のdg圏Ckに値をとるA∞-関手として導入し、複体のホモトピー圏における豊富な圏論を用いることで、単位的A∞-圏がSerre A∞-関手をもつための必要十分条件が、そのホモトピー圏がSerre k線形関手をもつことであることを証明する。これは、古典的Serre双対性のホモトピー的上昇である。

ABSTRACT

We define A-infinity-bimodules similarly to Tradler and show that this notion is equivalent to an A-infinity-functor with two arguments which takes values in the differential graded category of complexes of k-modules, where k is a ground commutative ring. Serre A-infinity-functors are defined via A-infinity-bimodules likewise Kontsevich and Soibelman. We prove that a unital closed under shifts A-infinity-category A over a field k admits a Serre A-infinity-functor if and only if its homotopy category H^0(A) admits a Serre k-linear functor. The proof uses categories enriched in K, the homotopy category of complexes of k-modules, and Serre K-functors. Also we use a new A-infinity-version of the Yoneda Lemma generalizing the previously obtained result.

研究の動機と目的

• A∞-bimoduleを用いてSerre A∞-関手を定義・特徴づけ、コンツェビッチおよびソイベルマンの手法を一般化する。
• 三角化圏からA∞-圏へのSerre双対性のホモトピー的上昇を確立する。
• ホモトピー圏におけるSerre関手とそのA∞-強化の関係を明確にする。
• 理論の基盤として、Yonedaの補題の新しいA∞-版を提供する。
• 体k上の単位的A∞-圏が、そのホモトピー圏がSerre k線形関手をもつときかつそのときに限り、Serre A∞-関手をもつことを示す。

提案手法

• A∞-圏上のA∞-bimoduleを、2つの引数をとるCkに値をとるA∞-関手として定義する。
• A∞-bimoduleとCkに値をとるA∞-関手の間の同値関係を確立し、A∞-モジュールに関する先行結果を一般化する。
• Kを複体のホモトピー圏とするK-豊富な圏を用い、Serre A∞-関手とSerre K-関手の関係を関係づける。
• Yoneda A∞-関手がホモトピー的完全忠実であることを示す、新しいA∞-バージョンのYoneda補題を証明する。
• K-豊富な構造とK-関手論を用いて、ホモトピー圏H⁰AからA∞-圏AへのSerre関手を上昇させる。
• 対称モノイダル圏における整合性原理と標準同型を用いて、証明におけるテンソル積と順列の取り扱いを管理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体k上の単位的A∞-圏がSerre A∞-関手をもつのはいつか？
• RQ2 ホモトピー圏H⁰AにおけるSerre関手とSerre A∞-関手の関係は何か？
• RQ3 A∞-bimoduleはSerre A∞-関手の特徴づけにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 この一般設定においてYoneda A∞-関手がホモトピー的完全忠実であることを示せるか？
• RQ5 豊富な圏論を用いて、三角化圏からA∞-圏へのSerre双対性のカテゴリカルな上昇は可能か？

主な発見

• 体k上の単位的A∞-圏AがSerre A∞-関手をもつための必要十分条件は、そのホモトピー圏H⁰AがSerre k線形関手をもつことである。
• K-圏kAにSerre K-関手が存在することは、AにSerre A∞-関手が存在することと同値である。
• Yoneda A∞-関手Y: Aᵒᵖ → Aᵤ∞(A; Ck)はホモトピー的完全忠実である。これは、フカヤとリュバシチェンコ＝マンツィウクの先行結果を一般化する。
• Yoneda関手の制限Y: Aᵒᵖ → Rep(A, Ck)はA∞-同値である。これは、任意の単位的A∞-圏がA∞-同値なdg圏に同値であることを示している。
• 代表的A∞-関手の圏Rep(A, Ck)は、Aᵤ∞(A; Ck)のU-小さなdg部分圏であるため、Yoneda構成のよい振る舞いが保証される。
• 証明は、セイデルの結果を一般化し、古典的Yoneda補題をA∞-圏へ拡張する新しいA∞-バージョンのYoneda補題に依存している。